Системи координат (декартова, полярна, циліндрична, сферична). Довжина і координати вектора. Векторний простір

Рис.2.8 системи збігається з початком координат

прямокутної.

Точці відповідають координати полярної системи і координати прямокутної системи.

З прямокутного трикутника знаходимо

. (2.5)

Ці формули дають можливість перейти від полярних до прямокутних координат. З того самого трикутника знаходимо . Звідси

Ці формули дозволяють здійснити перехід від прямокутної до полярної системи координат.

6. Циліндрична система координат

Циліндричні координати є поєднанням полярних координат у площині і звичайної прямокутної (декартової) аплікати . Формули, що зв'язують ці дві системи координат, мають вигляд

(2.6)

де .

Тут кожному конкретному відповідає циліндрична поверхня. При зміні від 0 до такі циліндричні поверхні заповнюють весь простір . Твірні всіх цих циліндрів паралельні осі , а їх проекції на площину є кола з центром у початку координат (рис.2.9). Кожному конкретному відповідає півплощина, що проходить через вісь . При зміні від 0 до ця півплощина описує весь простір .

Кожному сталому відповідає площина, паралельна площині . При зміні ці площини теж заповнюють весь простір .

Циліндрична система часто використовується у багатьох задачах математики, зокрема - в інтегральному численні.

7. Сферичні координати

Сферичними координатами є , а декартовими - і

. На рис.2.10 поєднано ці дві координатні системи. Тут набуває довільних невід'ємних значень, тобто .

Рис.2.9 Рис.2.10

Кожному конкретному відповідає сфера радіуса з центром у початку координат. При зміні всі ці сфери заповнюють весь простір. Параметру відповідає півплощина, що проходить через вісь , а - кругові конуси, віссю яких є вісь . Тут мається на увазі двопорожнинний конус (рис.2.10). Тепер зрозуміло, що величина змінюється від 0 до , бо при такій зміні множина всіх конусів заповнює весь простір . Очевидно також, що .

Сферична система координат теж широко використовується в ряді галузей математики, зокрема при обчисленні потрійних інтегралів.

Зв'язок між сферичною і декартовою системою координат описується формулами

. (2.7)

Наприклад, перше з цих співвідношень доводиться так: