Системи координат (декартова, полярна, циліндрична, сферична). Довжина і координати вектора. Векторний простір

Означення. Декартовою системою координат в просторі називається сукупність точки і базису.

Точка носить назву початку координат; прямі, що проходять через початок координат в напрямку базисних векторів, називаються осями координат. Перша - віссю абсцис , друга - віссю ординат, третя - віссю аплікат. Площини, що проходять через осі координат, називаються координатними площинами.

Означення. Координати радіус-вектора точки по відношенню до початку координат називаються координатами точки в розглядуваній системі координат .

Перша координата називається абсцисою, друга - ординатою, третя - аплікатою.

Детальніше про метод координат можна ознайомитися в п.3.1.

Означення. Базис називається ортонормованим, якщо його вектори одиничні (довжина кожного дорівнює одиниці) і попарно перпендикулярні. Декартова система координат, базис в якої ортонормований, називається прямокутною декартовою системою координат (ПДСК). В цьому випадку, як правило, вектори базису позначають

Розглянемо тепер проекцію вектора на координатні осі системи координат(рис.2.5).На рис.2.5 вектор замикає ламану , тобто

.

Це означає, що будь-який вектор можна розкласти на суму трьох доданків, що лежать на осях координат. Ці три доданки є проекціями вектора на координатні осі.

Вектори називаються компонентами

(координатами) даного вектора відносно системи координат

.

Введемо в розгляд одиничні вектори осей координат . Нехай проекції вектора на координатні осі дорівнюють відповідно . Тоді .

Тому

(2.1)

Рис.2.5

Якщо в системі координат задано вектор своїм початком і кінцем , то (рис.2. 6)

(2.2)

Рис.2.6

Цей факт доводиться досить легко.

НехайТоді з знаходимо

, що випливає безпосередньо з