Суть аксіоматичного методу
“Не можна бути математиком, не будучи в той же час і поетом у душі”,-говорив німецький математик Карл Вейерштрас.
Якщо сучасна геометрія відмовляється розкривати джерела своїх понять, якщо нам ніяк не вдається виявити їх у строгих математичних термінах, то, можливо, нам допоможуть у цьому поетичні образи?
“Зірки мов іскорки горять”. “Струнка смерічка наче свічка”. “Мов струни стовбури високих сосен”. “Рівнина - як озера гладь ”. “Місяця розірваний обруч”.
Поетичний дар, яким наділена людина від природи, спонукає її помічати подібність у різному. Підмічаючи часто одну і ту ж властивість у різних об'єктах, людина усвідомлює цю властивість і дає їй ім'я.
Стовбур смереки чи сосни, натягнута струна або свічка прямі. У цьому твердженні уже явно виражене поняття прямої. Нагадуючи про стовбур дерева, натягнуту струну чи свічку, це поняття в той же час уже відділене від них, існує саме по собі в нашій свідомості.
Так з'являлися абстрактні геометричні поняття.
І чим наполегливіше шукала людина прості, але характерні, деякі, але істотні властивості предметів, чим сміливіше відкидала вона при узагальненні риси неістотні, другорядні і випадкові, тим змістовнішим і водночас більш виразним ставало відповідне абстрактне поняття, чи то площина чи пряма, точка чи коло.
1.5 Звідки беруться аксіоми?
Людина - не тільки споглядач і поет. Людина - насамперед трудівник.
У своїй практичній діяльності, усвідомлюючи властивості реальних предметів і їхні взаємозв'язки, людина установлювала властивості створених нею геометричних понять і відношення між ними.
Стародавня легенда розповідає, як зародилася наука геометрія. Було це в Древньому Єгипті. Величезна ріка тече через усю цю місцевість - Ніл. Розливаючись із кожною весною, Ніл затопляв поля і знищував межі, що розділяли земельні ділянки. Межі щоразу доводилося відновлювати заново. З року в рік, із століття в століття удосконалювалися прийоми землемірства. Якщо вимовити це слово на древньогрецькій мові, ми впізнаємо в ньому назву науки, про яку йде мова: геометрія.
Натягуючи шнурок між двома кілками, древні землеміри не раз мали можливість переконатися, що ця нескладна операція завжди призводить до того самого результату. Багаторазово повторений досвід дозволив зробити висновок: через дві точки можна провести пряму, і притому тільки одну.
Так народжувалися аксіоми.І чим наполегливіше відкривала людина стійкі і закономірні зв'язки між предметами реального світу, чим глибше вона осмислювала їхньому логіку, чим частіше виявляла вона при найрізноманітніших обставинах те або інше співвідношення, чим успішніше використовувала його у своїх міркуваннях і діях, тим надійніше підтверджувала своє значення відповідна аксіома: через будь-які дві точки можна тільки одну провести пряму.
Аксіом ставало все більше. Вони складалися в єдину систему. Математики піклувалися про те, щоб така система була повною, тобто щоб із неї можна було вивести будь-яку з відомих геометричних теорем. І ще про те, щоб вона була несуперечливою, тобто щоб із неї не можна було вивести суперечливих тверджень.
Узяті разом, ці аксіоми описують усі властивості основних геометричних об'єктів, усі співвідношення між ними, що використовуються при виведенні геометричних теорем. Тому і не даються означення основних геометричних понять - точки, прямої, площини. Їхні означення містяться в аксіомах геометрії.
1.6 Моделювання геометричних ситуацій