Суть аксіоматичного методу

Суть аксіоматичного методу

1.1 Що таке математика?

Математика - це наука про числа й фігури, скажете Ви. Адже арифметика вивчає дії над числами. Геометрія - властивості геометричних фігур. В алгебраїчних виразах змінні теж позначають числа.

Однак є такі галузі математики, де ні числа, ні фігури ніякої особливої ролі не відіграють. Відкриємо підручник із математичної логіки. Формули, що зустрінуться нам тут, нагадують алгебраїчні. Але буквами в них позначають не числа, а фрази, частіше всього математичні твердження. Їх у логіці називають висловленнями. Фігури ж з'являються тут, хіба-що для ілюстрації.

Схожа ситуація в інших сучасних математичних теоріях. У теорії груп змінними позначено математичні операції. У теорії ймовірностей - події. Після таких прикладів важко стверджувати, що числа й фігури є для математики основними об'єктами вивчення.

То, що ж вивчає математика? Що в ній найголовніше? Що є найхарактернішим для будь-якого з її розділів, будь-якої її теорії?

Якщо уважно придивитися, як будується математична теорія, то цей процес нагадує спорудження будинку з окремих цеглин. Коли муляр зводить стіну, то кожна цеглина міцно укладається на покладені раніше і скріплюється з ними розчином. Так само в міркуванні математика кожне твердження спирається на вже доведені. Воно зцементовано з ними законами логіки.

Кожна така “цеглина” у математичній “споруді”, кожне твердження математичної теорії, отримане з раніше доведених на підставі законів логіки, називається теоремою. Звичайно, математики далеко не кожне твердження, отримане шляхом логічних міркувань, називають теоремами. Деякі теореми називаються по-іншому. Наприклад, говорять: ознаки рівності трикутників; правила додавання векторів. Але якщо бути строгим у термінології, то кожне таке правило, кожна ознака - одним словом, кожне математичне твердження, одержуване шляхом логічних міркувань, є теоремою.

Будь-яка теорема або декілька теорем, у свою чергу, використовується для обґрунтування нових теорем. І подібно до того, як будинок складається з цеглин, будь-яка математична теорія є не що інше, як логічна послідовність теорем.

1.2 Аксіоми. Теореми.

Розбудовуючи будь-яку математичну теорію, ми рухаємося вперед. Тобто виявляємо і доводимо все нові й нові теореми. Однак можна рухатись й у зворотному напрямку.

Якщо розбирати будинок, забираючи зі стіни по цеглині, то можна дійти до його фундаменту. Так само, якщо ми захочемо вияснити на які теореми спирається кожна теорема, то ми обов'язково доберемося до таких тверджень, істинність яких приймається без доведення. Їх називають аксіомами або постулатами.

Відкриємо знамениті «Начала» Евкліда. Протягом багатьох століть ця книга служила для школярів підручником геометрії, а для вчених - зразком математичної строгості.

Уже на перших сторінках свого трактату Евклід перераховує постулати, на які посилається надалі, виводячи геометричні теореми: 1. Від усякої точки можна провести пряму лінію. 2. Обмежену пряму можна нескінченно продовжувати до прямої. 3. З усякого центра довільним розхилом може бути описане коло. 4. Усі прямі кути рівні між собою. 5. Якщо пряма, що падає на дві прямі, утворює внутрішні односторонні кути, то ці дві прямі, продовжені необмежено, зустрінуться з тієї сторони, де кути менші за два прямі.

На такому фундаменті зводиться будинок Евклідової геометрії. Наприклад, за допомогою свого п'ятого постулату Евклід доводить теорему про рівність внутрішніх різносторонніх кутів, утворених паралельними прямими й січною. Використовуючи цю теорему, доводить теорему про суму внутрішніх кутів трикутника і т. д. Так і утворюється одна теорема за іншою.