Функціональний ряд, область його збіжності. Cтепеневі ряди. Теорема Абеля

(13.34)

Рівність (13.34) можна записати ще так:

(13.35)Отже, у випадку рівномірної збіжності функціонального ряду, інтеграл від суми ряду дорівнює сумі ряду, складеного із інтегралів від його членів, або, іншими словами, допустиме ”почленне” інтегрування ряду.

Теорема 4 (про почленне диференціювання рядів). Нехай функції визначені на проміжку і мають на ньому неперервні похідні . Якщо в цьому проміжку ряд (13.22) збігається і, крім того, рівномірно збігається ряд, складений із похідних:

, (13.36)

то й сума ряду (13.22) має в проміжку похідну, причому

(13.37)

Рівність (13.37) можна записати так:

(13.38)

2. Степеневі ряди

2.1. Степеневі ряди за степенями

Означення 1. Степеневим рядом називається функціональний ряд такого вигляду:

, (13.39)

де постійні числа, що називаються коефіцієнтами ряду.

Як видно буде із наступної теореми, областю збіжності степеневого ряду може бути вся числова вісь, інтервал або тільки одна точка .

Теорема 1 (теорема Абеля). 1) Якщо степеневий ряд (13.39) збігається в деякій точці , то він збігається абсолютно при всіх значеннях для яких

2) якщо ряд (13.39) розбігається при деякому значенні , то він розбігається при всіх , для яких

Д о в е д е н н я. 1) Оскільки, за припущенням, ряд (13.39) збігається в точці

,

то його загальний член прямує до нуля при тобто а це значить, що всі члени ряду обмежені

де деяке додатне число.

Перепишемо ряд (13.39) у вигляді

(13.40)

і розглянемо ряд, складений із абсолютних величин його членів: