Функціональний ряд, область його збіжності. Cтепеневі ряди. Теорема Абеля

Функціональний ряд, область його збіжності. Cтепеневі ряди. Теорема Абеля

План

Функціональний ряд.

Область збіжності

Рівномірна збіжність

Степеневі ряди

Теорема Абеля

Інтервал і радіус збіжності степеневого ряду

Ряди за степенями

1. Функціональні ряди

1.1. Функціональні ряди. Область збіжності

Ряд

(13.22)

називається функціональним, якщо його члени є функціями від Надаючи певного числового значення, ми одержимо різні числові ряди. Одні з них можуть бути збіжними, інші - розбіжними.

Означення. Сукупність тих значень при яких ряд (13.22) збігається, називається областю збіжності функціонального ряду.

Очевидно, що в області збіжності ряду його сума є деякою функцією від . Тому його суму будемо позначати через

Через позначимо частинну суму ряду (13.22), тобто суму перших його членів

(13.23)

Тоді

, (13.24)

де

і називається залишком ряду. Для всіх значень в області збіжності ряду має місце співвідношення а тому

(13.25)

тобто залишок збіжного ряду прямує до нуля при

Приклад. Знайти область збіжності ряду .