Декартів (прямий) добуток множин. Відповідності, функції і відображення.

Припустимо, що CÍA´B деяка відповідність.

Множина Pr1C називається областю визначення, а множина Pr2C - областю значень відповідності C (інші позначення - dС і rС відповідно).

Якщо Pr1C=A, то відповідність C називається всюди або повністю визначеною. В противному разі відповідність називається частковою.

Образом елемента aÎPr1C при відповідності C називається множина всіх елементів bÎPr2C, які відповідають елементу a.

Прообразом елемента bÎPr2C при відповідності C називається множина всіх тих елементів aÎPr1C, яким відповідає елемент b.

Якщо AÍPr1C, то образом множини A при відповідності C називається об’єднання образів усіх елементів з A. Аналогічно означається прообраз деякої множини BÍPr2C.

Оскільки відповідності є множинами, то до довільних відповідностей можуть бути застосовані всі відомі теоретико-множинні операції: об’єднання, перетин, різниця тощо.

Додатково для відповідностей введемо дві специфічні операції.

Відповідністю, оберненою до заданої відповідності C між множинами A і B, називається відповідність D між множинами B і A така, що

D ={(b,a) | (a,b)ÎC}. Відповідність, обернену до відповідності C, позначають C-1.

Якщо задано відповідності CÍA´B і DÍB´F, то композицією відповідностей C і D (позначається C°D ) називається відповідність H між множинами A і F така, що H = { (a,b)| існує елемент cÎB такий, що (a,c)ÎC і (c,b)ÎD }.

Розглянемо окремі важливі випадки відповідностей.

Відповідність fÍA´B називається функціональною відповідністю або функцією з A в B, якщо кожному елементові aÎPr1f відповідає тільки один елемент з Pr2f, тобто образом кожного елемента aÎPr1f є єдиний елемент з Pr2f. Якщо f - функція з A в B, то кажуть, що функція має тип A ® B і позначають f:A®B або A B. Зокрема, всі функції, які вивчаються в елементарній математиці, є окремими випадками функціональних відповідностей з R2= R´R або функціями типу R ® R.

Всюди визначена функціональна відповідність fÍA´B називається відображенням A в B і записується як і функція f:A®B або A B. Відображення називають також всюди або повністю визначеними функціями.

Відображення типу A ® A називають перетвореннями множини A.

Через BA позначається множина всiх вiдображень з A в B.

Оскільки функція і відображення є окремими випадками відповідності, то для них мають місце всі наведені вище означення: поняття областей визначення та значень, поняття образу та прообразу елементів і множин та ін. Зокрема, для функції f елементи множини Pr1f називають аргументами функції, образ елемента aÎPr1f позначають через f(a) і називають значенням функції f на a. Прообраз елемента bÎPr2f позначають через f-1(b). Аналогічно позначаються образ і прообраз множини.

Нехай f:A®B функція з множини A в множину B, а g:B®C - функція з множини B в множину C. Суперпозицією (композицією) функцій f і g, яка позначається f°g, називається функція h:A®C така, що h(a) = g(f(a)) для aÎPr1fÍA і f(a)ÎPr1gÍB.

Відображення f називається сюр’єктивним (сюр’єкцією) або відображенням на множину B, якщо Pr2f = B.

Відображення f називається ін’єктивним (ін’єкцією) або різнозначним відображенням, якщо для кожного елемента bÎPr2f його прообраз f-1(b) складається тільки з одного елемента. Іншими словами, різним елементам множини A відповідають різні елементи множини B.