Декартів (прямий) добуток множин. Відповідності, функції і відображення.
Операція декартового добутку неасоціативна і некомутативна, тобто множини (A´B)´C і A´(B´C), а також множини A´B і B´A, взагалі кажучи, нерівні між собою.
Зв’язок декартового добутку з іншими теоретико-множинними операціями встановлюється такими тотожностями:
(A È B) ´ C = (A´C) È (B´C),
(AÇB) ´ C = (A´C)Ç(B´C),
A ´ (B È C) =(A´B) È (A´C), (1.8)
A ´ (BÇC) =(A´B)Ç(A´C).
Проекцією на i-у вісь (або i-ою проекцією) кортежу w=(a1,a2,...,an) називається i-а координата ai кортежу w, позначається Pri(w) = ai.
Проекцією кортежу w=(a1,a2,...,an) на осі з номерами i1,i2,...,ik називається кортеж (ai1,ai2,...,aik), позначається Рri1,i2,...,ik(w) = (ai1,ai2,...,aik).
Нехай V - множина кортежів однакової довжини. Проекцією множини V на i-у вісь (позначається PriV ) називається множина проекцій на i-у вісь усіх кортежів множини V: PriV = { Pri(v) | vÎV }.
Аналогічно означається проекція множини V на декілька осей:
Pri1,i2,...,ikV = { Pri1,i2,...,ik(v) | vÎV }.
Приклад 1.10. Pri1,i2,...,ik( A1 ´ A1 ´...´ An ) = Ai1 ´ Ai2 ´... ´ Aik.
Якщо V={(a,b,c),(a,c,d),(a,b,d)}, то Pr1V={a}, Pr2V={b,c}, Pr2,3V={(b,c),(c,d), (b,d)}.
2. Відповідності, функції і відображення
Відповідністю між множинами A і B називається будь-яка підмножина CÍA´B.
Якщо (a,b)ÎC, то кажуть, що елемент b відповідає елементу a при відповідності C.
Оскільки відповідності є множинами, то для їхнього задання використовують ті самі методи, що й для довільних множин.Крім того, відповідність можна задавати (або ілюструвати) за допомогою так званого графіка відповідності. Нехай А={1,2,3,4,5} і B={a,b,c,d}, а C = {(1,a),(1,d),(2,с),(2,d),(3,b),(5,a),(5,b)} - відповідність між A і B. Позначимо через 1,2,3,4,5 вертикальні прямі, а через a,b,c,d - горизонтальні прямі на координатній площині (рис.1.2,а). Тоді виділені вузли на перетині цих прямих позначають елементи відповідності C і утворюють графік відповідності
Зручним методом задання невеликих скінченних відповідностей є діаграма або граф відповідності. В одній колонці розташовують точки, позначені елементами множини A, у колонці праворуч - точки, позначені елементами множини B. З точки a першої колонки проводимо стрілку в точку b другої колонки тоді і тільки тоді, коли пара (a,b) належить заданій відповідності. На рис.1.2,б зображено діаграму відповідності C із попереднього абзацу.
Відповідність можна задавати, визначаючи співвідношення, яким мають задовольняти її обидві координати. Наприклад, якщо розглянемо класичну координатну площину R2=R´R, то маємо такі відповідності C1={(x,y) | x2 + y2 = 1}, C2 = {(x,y) | y = x2 }, C3 = {(x,y)| |x|£1, |y|£1}. Графіком відповідності C1 є коло радіуса 1 з центром у початку координат, графіком C2 - квадратична парабола, а графіком C3 - всі точки квадрата з вершинами (-1,-1),(-1,1),(1,1) і (1,-1).