Зліченні множини

Рис. 1.4.

Далі проводимо міркування аналогічні випадку скінченної сукупності множин. Теорему доведено.

З теореми 1.4 випливає низка цікавих наслідків.

Наслідок 1.4.1. Множина Z всіх цілих чисел зліченна.

Справді, подамо множину Z у вигляді Z = N {0} N', де N'= { -1,-2,-3,... } - множина від’ємних цілих чисел, яка, очевидно, є зліченною.

Числова множина W називається щільною, якщо для будь-якої пари чисел a,bW (a
Безпосередньо з означення випливає, що щільна множина завжди є нескінченною. Більш того, для кожної пари чисел a,bW існує безліч чисел cW, для яких виконується a
Очевидно, що множина Z цілих чисел, а також будь-яка її підмножина (зокрема, множина N натуральних чисел) - не щільні. У той же час множина Q раціональних чисел є щільною множиною. Справді, для будь-яких раціональних чисел r1 і r2 (r1
Здавалося б зі щільності множини раціональних чисел повинно було б випливати, що ця множина має більшу потужність, ніж множина N або множина Z. Однак має місце таке твердження.

Наслідок 1.4.2. Множина Q всіх раціональних чисел зліченна.

Справді, множину Q можна подати як об’єднання таких зліченних множин:

A1 = {0,1,-1,2,-2,3,-3,...} - усі цілі числа (або дроби виду , nZ),

A2 = { } - усі дроби виду , nZ.

A3 = { } - усі дроби виду , nZ,

.....................................................

Ak = { } - усі дроби виду , nZ,

......................................................

Наслідок 1.4.3. Декартів добуток AB зліченних множин A і B є зліченною множиною.Справедливість цього твердження випливає з того, що множину всіх пар (a,b)AB, де A={a1,a2,...,an,...} і B={b1,b2,...,bn,...} можна подати як об’єднання такої зліченної сукупності зліченних можин

D1 = {(a1, b1 ), (a1, b2 ),..., (a1, bn ),... },

D2 = {(a2, b1 ), (a2, b2 ),..., (a2, bn ),... },

...........................................

Dk = {(ak, b1 ), (ak, b2 ),..., (ak, bn ),... },

...........................................