Зліченні множини

Множина A рівнопотужна множині N натуральних чисел називається зліченною множиною.

Іншими словами, зліченна множина A - це така множина, всі елементи якої можна занумерувати числами 1,2,3,..., тобто можна вказати спосіб, за яким першому елементу множини A ставиться у відповідність число 1, другому - число 2, третьому - число 3 і т.д. Отже, будь-яку зліченну множину A можна подати у вигляді A = {a1,a2,a3,...,an,...}.

Неважко переконатись, що множини квадратів натуральних чисел, усіх парних чисел, усіх непарних чисел, чисел кратних деякому числу k, чисел, які закінчуються парою цифр 00 тощо є зліченними множинами.

Перейдемо до вивчення властивостей зліченних множин.

Теорема 1.2. Будь-яка нескінченна множина M містить зліченну підмножину.

Доведення. Оскільки M нескінченна множина, візьмемо два елементи a1,b1M (a1b1). Очевидно, множина M\{a1,b1} є нескінченною множиною. Тоді візьмемо наступні два нові елементи a2,b2M \{a1, b1} (a2b2 ) і т.д. Таким чином, ми виділимо з множини M дві зліченні множини A={a1,a2,...,an,...}M і B={b1,b2,...,bn,...}M. Це дозволяє підсилити формулювання теореми. А саме: будь-яка нескінченна множина M містить зліченну підмножину A і при цьому множина M \ A є нескінченною множиною (оскільки B M \ A).

Теорема 1.3. Будь-яка підмножина зліченної множини є або скінченною, або зліченною множиною.

Доведення. Нехай A={a1,a2,...,an,...} - зліченна множина і BA. Отже, B={a1,a2,...,ak,...} і можливі дві ситуації: або послідовність у фігурних дужках уривається на деякому елементі, тоді B - скінченна множина, або послідовність у дужках нескінченна, для якої, встановлюючи відповідність (l,al), lN, одержуємо, що B - зліченна множина.

З теорем 1.2 і 1.3, зокрема, випливає, що зліченні множини є до певної міри найпростішими нескінченними множинами, бо, з одного боку, вони містяться в будь-якій нескінченній множині, а з другого - містять в собі тільки скінченні множини, або нескінченні множини, які є зліченними.

Теорема 1.4. Об’єднання скінченної або зліченної сукупності зліченних множин є зліченною множиною.

Доведення. Розглянемо спочатку скінченну сукупність зліченних множин {A1,A2,...,Ak}, де Ai={a1i,a2i,...,ani,...}, i=1,2,...,k. Запишемо всі елементи множин A1,A2,...,Ak в рядок таким чином: a11,a12,...,a1k,a21,a22,...,a2k,...,an1,an2,...,ank,....

Перенумеруємо записані елементи в порядку їх розташування в рядку. При цьому елемент, який вже одержав свій номер і повторно з'являється в рядку, з подальшої нумерації вилучається. В результаті кожен елемент об’єднання одержить свій номер, що і потрібно було довести.

У випадку зліченної сукупності множин Ai={a1i,a2i,...,ani,...}, i=1,2,..., перепишемо всі елементи множин Ai у такому порядку: a11,a12,a21,a13,a22,a31,a14,a23,a32,a41,....

Принцип переписування елементів множин A зображений за допомогою стрілок на рис.1.4.

a11, a21, a31, ..., an1,.... A1

a12, a22, a32, ..., an2,.... A2

a13, a23, a33, ..., an3,.... A3

a14, a24, a34, ..., an4,.... A4

...................................