Обернені тригонометричні функції.Тригонометричні рівняння і нерівності

ПЛАН

1.Обернені тригонометричні функції

2.Тригонометричні рівняння

3.Тригонометричні нерівності.

Введення обернених тригонометричних функцій

Вивчення обернених тригонометричних функцій слід починати з повторення і розширення відомостей про обернені функції, які вивчались в курсі алгебри VIII класу і використовувались під час вивчення функцій . У VIII класі було сформульо¬вано означення оборотної функції f, введено поняття функції g, оберненої до функції f, сформульовано необхідну і достатню умову існування функції, оберненої до даної і доведено достатню умову: кожна монотонна функція оборотна. Було доведено також теорему про властивість графіків взаємно обернених функцій і розглянуто вправи на знаходження за формулою даної функції оберненої до неї функції.

У IX класі було введено означення числової функції як відоб¬раження підмножини D множини R на деяку підмножину Е мно¬жини R. Для позначення області визначення і множини значень функції f були введені символи D(f) і E(f). У X класі під час повто¬рення відомостей про обернену функцію є можливість, використо¬вуючи введену в IX класі термінологію і символіку, сформулювати означення взаємно обернених функцій (див. [2]). З нових відомостей про взаємно обернені функції є теорема (яку формулюють без доведення) про неперервність і монотонність функції, оберненої до даної неперервної і монотонної функції. Ця теорема використо¬вується, коли розглядаються обернені тригонометричні функції.

Перед введенням обернених тригонометричних функцій кожно¬го виду слід повторити з учнями властивості всіх тригонометричних функцій числового аргументу.

Після цього доцільно запропонувати учням знайти функцію, обернену, наприклад, до функції у = sin x. З курсу алгебри VIII класу відомо, що спочатку треба переконатись, чи є оборотною дана функція на області її визначення. З графіка синуса добре видно, що ця функція не є оборотною на області визначення, оскільки кожного свого значення вона набуває безліч раз. Але приклад функції у = х2 свідчить, що функція може бути оборотною на певній підмножині з області визначення, зокрема на тій множині, де вона монотонна. Функ¬ція у = sin x має безліч проміжків зро¬стання і спадання і тому є оборотною на кожному з них. Домовились вибрати один з цих проміжків - проміжок , на якому синус зростає і набуває всіх своїх значень з множини значень [-1; 1].

Отже, функція у = sin х, якщо x , оборотна і має обернену функцію, яку називають арксинусом і позначають arcsin. Після цього доцільно, щоб учні самі записали область визначення функції і множину її значень: Е (arcsin) = , D(arcsin) = [-1; 1] і назвали дві властивості функції арксинус (зростаюча і не¬перервна функція), спираючись на сформульовану раніше теорему про неперервність і монотонність функції, оберненої до даної монотонної і неперервної функції.

Графік функції у = arcsin x учні також можуть побу¬дувати без допомоги вчителя, спираючись на властивість гра¬фіків взаємно обернених функцій. Доцільно наголосити на тому, що коли під знаком arcsin стоїть число додатне, то значення функції належать проміжку , а коли від'ємне - то про¬міжку , причому arcsin 0 = 0, arcsin 1 = , arcsin (-1) = - .

Доведемо непарність функції арксинус, тобто доведемо, що arcsin (-х)= - arcsin x. За означенням арксинуса маємо:

Помноживши всі три частини останньої нерівності на —1, дістанемо

Визначимо синуси виразів arcsin (-х) і -arcsin х, спираючись на означення арксинуса і непарність синуса

sin (arcsin (-х)) = -х,