Розклад вектора за базисом

Означення 8. Лінійно залежними називають вектори , якщо існує хоч би одне дійсне число (і = 1,2,…, n), що не дорівнює нулю і виконується рівність

Означення 9. Лінійно незалежними називають вектори , якщо рівність (7) виконується тільки тоді, коли усі .

В системі векторів число лінійно незалежних векторів дорівнює рангу матриці, яка складена з координат цих векторів.

Дійсно, якщо систему векторів із простору Еm розглядати як матриці-стовпці з m заданими елементами, тоді рівняння (7) можна записати у вигляді однорідної системи m лінійних алгебраїчних рівнянь з n невідомими . Кількість базисних невідомих системи дорівнює рангу r основної матриці системи, тобто матриці, складеної із координат векторів .

Таким чином, серед чисел існує r не рівних нулю. Згідно з означенням 8 звідси випливає, що вектори лінійно залежні.

Для лінійно залежних векторів має місце рівність (7), з якої завжди можна один вектор виразити через лінійну комбінацію інших.

Якщо вектори із простору Еn (кожен з них має n координат) лінійно незалежні, тоді , тобто система n однорідних лінійних алгебраїчних рівнянь з n невідомими має тривіальний розв’язок. Але це можливо тоді, коли визначник матриці, складеної із координат векторів , не дорівнює нулю.

Приклад 1. Визначити лінійну залежність або незалежність системи векторів = (-1,-2,-3); = (7,8,9); = (-4,-5,6) та системи векторів = (3,-2,4,1); = (-1,2,-1,2); = (1,2,2,5).

Розв’язування. Спочатку розглянемо систему векторів , та . Знайдемо ранг матриці, складеної з координат цих векторів:

Визначник цієї матриці |А| = - 48 + 72 + 105 – 96 +84 – 45 = 72 не дорівнює нулю, тому r(A)=3 і вектори, лінійно незалежні.

Тепер розглянемо систему векторів. Матриця В складена з координат цих векторів має вигляд:

Ця матриця розміру 3 х 4 має ранг r(B)=2.

Тому вектори , , лінійно залежні.

Означення 10. Базисом n вимірного простору Еn називають будь-яку сукупність n лінійно незалежних векторів n вимірного простору.

Довільний вектор n вимірного простору можна представити у вигляді лінійної комбінацій векторів базиса так:

Числа називають координатами вектора у базисі векторів .

Приклад 2. Довести, що вектори = (5,4,3); = (-3,-1,2); та = (-3,1,3) утворюють базис в Е3, та розкласти вектор = (12,9,10) за цим базисом.

Розв’язування. Кожен із заданих векторі, має три координати, тому належить тривимірному простору Е3. Матриця складена з координат цих векторів

має визначник |А|= -15-24-9-9+36-10= -31 0, тому вектори, лінійно незалежні. Згідно з означенням 10 базиса, ці вектори утворюють базис в Е3.

Вектор також має три координати, тобто належить Е3. Тому його можна представити у вигляді (8) або

Вектори рівні, коли їх відповідні координати рівні. Тому з останньої рівності одержимо

Матричним методом можна знайти розв’язок цієї системи