Ймовірнісний зміст нерівності Йєнсена

Нові інформаційні технології в освіті неможливі без нової інформації в конкретних навчальних дисциплінах. В останні роки невпинно зростає кількість прихильників виховання ймовірнісного світогляду школярів і студентів, що вивчають математичні дисципліни. При цьому дуже важливу роль відіграють приклади проникнення ймовірнісних ідей, методів і результатів у неймовірнісні розділи математики. Про один з таких прикладів йде мова у цій роботі.

Нерівністю Йєнсена в математиці називають нерівність:

де - опукла на проміжку функція, а - довільні числа з цього проміжку, при цьому нерівність перетворюється в рівність у випадках, коли і коли - лінійна функція. Якщо функція угнута в , то нерівність Йєнсена записують так:

де - середнє арифметичне чисел ; - середнє арифметичне чисел . В загальному вигляді нерівність Йєнсена містить замість середніх арифметичних середні зважені. Тобто

Треба підкреслити, що нерівність Йєнсена має багато важливих застосувань [1-5]. Зауважимо, що в дискретній формі нерівність була встановлена О.Гельдером (Hölder, 1889), а інтегральна нерівність – Й.Йєнсеном (Jensen, 1906).

Інтегральну нерівність для угнутої функції записують так:

Нагадаємо, що функція називається опуклою (угнутою) в , якщо

для довільних; при цьому рівність у співвідношеннях досягається у випадках, коли і коли - лінійна функція.

Треба зауважити, що є різні способи доведення (обґрунтування) нерівності Йєнсена. Так, в [1, 2] використовується метод Коші; доведення в [3] спирається на фізичне поняття центра мас системи матеріальних точок; в [4] нерівність Йєнсена отримана з формули Тейлора за умови, що функція має в другу похідну; в [5] запропоновано доведення нерівності Йєнсена при умові, що опукла (угнута) в функція диференційована в цьому проміжку.

Цікаво встановити ймовірнісний зміст нерівності Йєнсена. Зрозуміло, що ми маємо справу з випадковими величинами вже в означеннях для опуклої (8) та угнутої (9) функцій. Фактор випадковості обумовлений довільністю вибору точок , на проміжку . Таким чином, можна вважати , що - випадкова величина, - функція випадкового аргумента. При цьому для вибірки без повторень з об'ємом дискретний розподіл має вигляд:

З точки зору теорії ймовірностей в означеннях (8) і (9) порівнюються математичне сподівання (вибіркове середнє) функції і значення функції від математичного сподівання аргумента.

Для опуклої функції будь-яка точка дуги розташована вище відповідної точки хорди , для угнутої функції – навпаки. Якщо функція лінійна, то математичне сподівання функції співпадає з функцією математичного сподівання випадкового аргумента, а точка відповідає середині відрізка . Таким чином, рівність у співвідношеннях (8) і (9) досягається у двох випадках: коли і коли - лінійна функція. У роботі [5] другий випадок лишився поза увагою автора. Будь-яка нелінійність порушує пропорційну залежність між і . Так, для опуклої функції збільшується множина значень, які перевищують , для угнутої функції – навпаки. Це вагомий аргумент на користь кусково-лінійної інтерполяції функцій. З точки зору фізики це означає, що для опуклої дуги центр ваги матеріальних точок і завжди лежить під дугою. Ця властивість центра ваги двох матеріальних точок виконується для будь-якого числа матеріальних точок, що лежать на опуклій кривій . В цьому випадку крива апроксимується сукупністю прямолінійних відрізків, і ми одержуємо шукане узагальнення.

Дискретний розподіл для вибірки без повторень з об'ємом має вигляд:

Математичне сподівання аргументу визначається так:

Математичне сподівання функцій