Збурення псевдообернених та проекційних матриць

де визначається по формулі (2.8).

Доведення наслідку (5) випливає з наступних співвідношень

Наслідок 6. Якщо мають місце умови наслідку 4, то

За умови вирази й у цьому випадку будуть отримані після аналізу випадку лінійної залежності і від відповідно вектор-стовпців і векторів-рядків матриці .

Випадок 3. Вектори і лінійно залежні відповідно від вектор-стовпців і векторів-рядків матриці , тобто

У цьому випадку збурення псевдооберненої матриці визначаються відповідно наступної теореми.

Теорема 3. Якщо для матриці , , виконуються умови (2.11), (2.12), то мають місце співвідношення

Наслідок 7. Якщо виконані умови теореми 3, то

Справедливість твердження наслідку 7 перевіряється простою підстановкою формули (2.15) у вираз для матриці

де використані властивості

( відповідно до (2.11) ),

( відповідно до (2.12) ).

Наслідок 8. Якщо виконуються умови теореми 3, то

де визначається по формулі

При доведенні теореми 3 використовується наступна лема.

Лема. Квадратна матриця при наявності умови має наступну псевдообернену матрицю

Ця лема буде використана нижче для обчислення збурень у псевдооберненій матриці, якщо під збуреннями початкової матриці розуміти видалення з неї деякого її стовпця або рядка.

Випадок 4. Нехай мають місце умови (2.11)

але при цьому не виконується рівність (2.12), тобто

Тоді, як це випливає з доведення теореми 3, виконується умова

Теорема 4. Якщо для матриці виконуються умови (2.11), (2.18), то мають місце співвідношення

Доведення цього твердження здійснюється перевіркою умов, яким повинна задовольняти псевдообернена матриця.

Наслідок 9. Якщо виконані умови теореми 4, то

Наслідок 10. Якщо виконуються умови теореми 4, то