Збурення псевдообернених та проекційних матриць

Метод збурення псевдообернених матриць [1] на основі принципу розщеплення матриць нижче поширюється на проекційні матриці з метою подальшого використання при розв'язанні задач ідентифікації, нелінійного регресійного аналізу, апроксимації функцій і прогнозу.

Відповідно до постановки задачі про аналітичне представлення збурень псевдообернених матриць [7, 8], будемо розглядати для деякої довільної матриці її псевдообернену матрицю , збурену матрицю

збурену псевдообернену матрицю

збурену проекційну матрицю

а також наступну проекційну матрицю

Функції , , мають різний вигляд в залежності від того, можна або неможливо представити вектори й у формі лінійних комбінацій векторів-стовпчиків або, відповідно, вектор-рядків матриці .

Розглянемо чотири можливих випадки залежності векторів і від елементів матриці .

Випадок 1. Вектори і лінійно незалежні з векторами-стовпцями і векторами-рядками матриці відповідно, тобто

Тоді залежність визначається наступною теоремою.

Теорема 1. Якщо для матриці виконуються умови (2.1), то

.

Використовуючи співвідношення (2.1) для функцій їхній вид визначається наслідками з теореми 1.

Наслідок 1. Якщо виконуються умови теореми, то

Справедливість цього твердження прямо випливає з теореми 1. Дійсно

Наслідок 2. Якщо виконуються умови теореми 1, то

Наслідок 3. Якщо виконуються умови теореми 1 і

, ,

тобто, вектор є ортогональним до усіх векторів-стовпців матриці , а вектор – до всіх вектор-рядкам матриці , т

Справедливість твердження наслідку 3 випливає з формули (2.3) і співвідношень

Випадок 2. Вектор є лінійно залежним від вектор-стовпців матриці , а вектор – лінійно незалежним від вектор-рядків матриці , тобто

Тут має місце наступна теорема [8].

Теорема 2. Якщо для матриці виконуються умови (2.5), то

Наслідок 4. Якщо виконуються умови теореми 2 і вектор є ортогональним до вектор-рядків матриці , тобто , то

Наслідок 5. Якщо мають місце умови наслідку 4, то