Інтерполювання функцій

При практичному використанні інтерполяційних многочленів важливим є знання похибки, яка виникає при інтерполяції.

Оцінимо величину залишкового члену формули Лагранжа. Існують різні форми запису залишкового члена. Так, якщо то існує така, шо

Одержимо цю формулу.

ля цього розглянемо функцію

У вузлах інтерполяції . Якщо і в точці , де ми оцінюємо похибку, , то величина дає оцінку. З цього випливає,

За теоремою Ролля має не менше нуль, а обертається в нуль в деякій точці де.

Використовуючи (4), одержимо

і внаслідок того, що з умови випливає з (4) маємо

Використовуючи рівномірну метрику, одержимо з (5) оцінку

Покращити оцінку (6) можна вибравши вузли інтерполяції таким чином, щоб був мінімальним. Видно, що поліном має старшим коефіцієнтом одиницю. Таким чином, ми приходимо до необхідності розв’язати задачу: серед усіх многочленів степеня із старшим коефіцієнтом рівним одиниці знайти той, максимальне відхилення якого від нуля на проміжку буде мінімальним.

Чебишевим були побудовані многочлени

які називають поліномами, що найменше відхиляються від нуля на проміжку . Тут поліноми Чебишева першого роду.

Враховуючи, що і використовуючи тригонометричну тотожність

одержимо рекурентне співвідношення для :

З цього співвідношення видно, що - це дійсно поліном із коефіцієнтом при рівним .

П.Л.Чебишов довів, що з усіх поліномів iз старшим коефіцієнтом 1 поліном має на найменшу верхню грань абсолютних значень, тобто найменше відхиляється від нуля. При цьому

Дійсно, різниця - є поліном степеня -1. маючи на різних коренів, набуває на цьому проміжку екстремальні значення +1 раз, причому по черзі ці значення будуть додатніми та від'ємними. Якщо екстремальні значення менші ніж у , то різниця цих поліномів в данних +1 точках буде по черзі додатньою та від'ємною. Отже поліном - степеня -1 матиме коренів. Це можливо лише у випадку, коли - 0.

Лінійною заміною змінної

довільний відрізок можна звести до .

Повертаючись до оцінки (6), бачимо, що

де права частина співвідношення - це максимальне значення зміщеного на полінома :

Отже, якщо вузлами інтерполяції взяти вузлиПри одержанні оцінки (6) максимум добутку замінено на добуток максимумів множників. Тому може виникнути ідея одержати кращу оцінку похибки. Але ці намагання будуть даремними, в чому можна впевнитись, розглянувши функцію Маємо , тому нерівність (6) обертaється в рівність. Враховуючи що