Інтерполювання функцій

Задача про інтерполяцію функцій є однією з основних задач чисельного аналізу. Формулюється вона таким чином.

Нехай на задано сітку w= { a x0
Основна мета інтерполяції - одержати швидкий (економічний) алгоритм обчислення значень , де .

Основне питання: як вибрати та як оцінити похибку Інтерполянти, як правило, будуються у вигляді узагальнених поліномів

де - фіксовані лінійно незалежні функції, -невідомі параметри.

З умов (1) одержуємо систему ЛАР відносно :

.

Як вiдомо, необхідною і достатньою умовою існування єдиного роз'язку цієї системи, або єдиної інтерполянти для будь-якого набору вузлів , є вимога щоб система функцій була системою Чебишова на .

Базовими системами найчастіше обирають степеневі функції (в цьому випадку - поліном степеня ) або тригонометричні функції - тригонометричний поліном). Використовуються також раціональні функції .

Розглянемо алгебраїчні поліноми. Відома теорема Вейєрштрасса стверджує, що будь-яку неперервну на функцію можна як завгодно точно наблизити поліномом степеня . Тобто для будь-якого існує поліном степеня , такий, що

Якщо і вдається побудувати такий многочлен, то, як правило, його степінь така висока, що практичне застосування його стає неможливим. Крім того, ця теорема не дає відповіді на питання про існування прийнятого інтерполяційного многочлена для заданої множини точок та способи його побудови.

Якщо шукати ІП увигляді

то система ЛАР

має своїм визначником визначник Вандермонда , і, отже, єдиний розв'язок. Звідси випливає існування та єдиність інтерполяційного полінома (2). Відомо багато форм запису інтерполяційного поліному. Розглянемо побудову так званого інтерполяційного поліному Лагранжа.

Для обчислень більш зручним в поріванянні з базисом є базис поліномів Лагранжа степеня (коефіцієнти або фундаментальні поліноми Лагранжа):

Безпосередньою перевіркою можна впевнетись, що поліном степеня

задoвольняє цій умові і визначається єдиним чином. Cправді, якщо існує ще один поліном , то різниця - (поліном степеня не вище ) обертоється в нуль в +1 точці, тобто - 0.

Поліном приймає значення в точцi і дорівнює нулю у всіх інших вузлах. З цього випливає, що ІП

де має степінь не вище +1 i .

Многочлен (3) називають інтерполяційним многочленом Лагранжа.

Величина називається похибкою інтерполяції многочленом Лагранжа або залишковим членом формули Лагранжа.