Різницеві інтерполяційні формули

Використання одержаних нами інтерполяційних формул для безпосереднього обчислення наближених значень інтерпольованої функції не є ефективним. Значно краще для цього використовувати схему Ейткена. Нехай - ІП з вузлами, зокрема, . Справедлива рівність

Дійсно, права частина - це поліном степеня , який співпадає з в точках . Схема Ейткена обчислення значення полягає в послідовному обчисленні за допомогою (5) елементів таблиці значень ІП.

Цю схему покладено в основу стандартної програми розв'язку такої задачі: Дано таблицю значень деякоІ функції на , потрібно при будь-якому значенні обчислити значення з заданою точністю або з найкращою можливою точністю при наявній інформації,

Побудова алгоритму, яку ми зараз розглянемо, є досить типовою для ситуації, що виникає на практиці. Неможливо запропонувати обгрунтований алгоритм розв'язку поставленої задачі для всіх функцій, якщо про функцію нічого не відомо, крім її значень в заданих точках. Але, припускаючи, що функція є досить гладкою, одержуємо практичний критерій оцінки похибки і, грунтуючись на ньому, будуємо алгоритм розв'язку задачі.

Нехай фіксовано; перенумеруємо вузли інтерполяції в порядку зростання . ІП будемо позначати як .

Раніше ми одержали вираз для похибки (2)

а також рівність . Якщо малі, то .Враховуючи це, маємо . З цього випливає, що величину можна розглядати як наближену оцінку похибки інтерполяційної формули . Отже, можна послідовно обчислювати значення ..., якщо при деякому буде , то обчислення можна припинити і покласти . Якщо ця нерівність не виконується ні при якому , то треба знайти і покласти . Якщо величини , починаючи з деякого , мають стійку тенденцію до збільшення, то обчислення значень , припиняються.

Розглянемо тепер дещо узагальнену задачу інтерполювання. Якщо у вузлах інтерполяції відомі не лише значення шуканої функції, а й її похідних до деякого порядку, то було б нерозумним не скористатися цією додатковою інформацією.

Нехай треба побудувати поліном степеня , що задовольняє умовам:

де всі різні, . Такий поліном називають ІП з кратними вузлами, а числа - кратностями вузлів відповідно.

ІП визначається єдиним чином. Справді, припустимо що існує два полінома степеня , що задавольняють умовам (6). Тоді їх різниця задoвoльняє cпіввідношенням

точки є нулями полінома кратності . Цих нулів загалом +1.

Далі будемо припускати, що функція неперервно диференційовна +1 раз. Існування ІП , що задовольняє умовам (6), доведемо, одержавши для нього явний вираз. Визначимо послідовність сукупностей точок що задовольняють таким умовам: при всі точки різні, при . Зокрема, можна покласти .

Побудуємо ІП степеня , що співпадає з в точках . Таблиця РР, відповідних цьому набору вузлів, має вигляд:

Запишемо ІП Ньютона з розділеними різницями:

Виражаючи РР через похідні, маємо

Таким чином, всі елементи таблиці мають границі, при . Ми позначатимемо через , отже, .

Якщо всі елементи таблиці мають границі, то на будь-якому відрізку поліноми при прямують до деякого поліному

записується у виглядіЗвідси випливає, що він задовольняє умовам, заданим в точці . Внаслідок єдиності ІП поліном не зміниться, якщо переозначити . Тому граничний поліном буде задовольняти заданим умовам в будь-якій точці . Отже, цей поліном є шуканим.