Різницеві інтерполяційні формули

Як побачимо далі, ІП можна розглядати як узагальнення відрізку ряду Тейлора.

Узагальненням поняття похідної є поняття розділеної різниці (PP). Нехай у вузлах відомі значення функції . Припустимо також, що при . Тоді РР нульового порядку співпадають зі значеннями функції , РР 1- го порядку визначаються рівністю

РР 2- го порядку:

і взагалі РР k-го порядку визначаються через різниці ( -1)-го порядку за формулою

Лема.Справедлива рівність

Безпосередньо з (1) випливає ряд наслідків.

1. При фіксованих РР є лінійним функціоналом від функції :

2. РР є симетричною функцією своїх аргументів , тобто не змінюється при їх перестановці.

Якщо функцію задано в точках , то таблицю

називають таблицею розділених різниць.

За допомогою РР можна одержати іншу форму запису ІП Лагранжа:

Порівнюючи з твердженням леми, впевнюємось, що вираз в дужках дорівнює . Таким чином, можна написати

де визначено нами раніше.

Нехай - ІП Лагранжа з вузлами інтерполяції . Поліном Лагранжа можна подати у вигляді

Різниця - - поліном степеня , який обертається в нуль в точках , оскільки при . Отже,

Покладаючи , одержуємо

З іншого боку, беручи в (2)і, маємо

Таким чином, , тому

Підставляючи це в (3), одержимо

Таке представлення ІП називається формулою Ньютона з розділеними різницями. З порівняння ІП Ньютона і Лагранжа випливає важлива рівність

Зокрема, якщо - поліном степеня , то на підставі (4) маємо

при будь-яких.

Якщо , то внаслідок (4) маємо

Тому величина може використовуватись як наближена оцінка для величини .