Аксіоми теорії ймовірностей. Теорема додавання ймовірностей

Теорема 1. Ймовірність появи однієї з двох несумісних подій дорівнює сумі ймовірностей цих подій.

Р( А В ) = Р ( А ) + Р ( В ).

Наслідок. Ймовірність появи однієї з декількох попарно несумісних подій дорівнює сумі ймовірностей цих подій:

Р( А1 А2 … Аn ) = P(A1 + A2+…+ An ).

Задача1.Виконується бомбометання по трьох складах боєприпасів, причому скидається одна бомба. Ймовірність влучити в перший склад 0,01; в другий  0,008; в третій  0,025. При влучанні в один із складів вибухнуть всі три. Знайти ймовірність того, що склади будуть зірвані.

Розв’язування. Розглянемо події : А =зрив складів, А1 =влучання в перший склад, А2 =влучання в другий склад, А3 =влучання в третій склад. Очевидно А= А1 А2 А3. . Так як при скиданні однієї бомби події А1 , А2 , А3 несумісні, то Р(А) = Р(А1) + Р( А2) + Р( А3) = 0,01 + 0,008 + 0,025 = 0,043.

Задача 2. На стелажі бібліотеки в випадковому порядку розставлено 15 підручників, причому 5 із них в перепльоті. Бібліотекар бере навмання три підручника. Знайти ймовірність того, що хоча б один з взятих підручників буде в перепльоті. ( р=67/91).

Задача 3. Кругова мішень складається з трьох зон: І, ІІ, ІІІ. Ймовірність влучання в першу зону при одному пострілі 0,15, в другу 0,23, в третю - 0,17. Знайти ймовірність промаху.

Розв’язування. Позначемо через А- промах, -попадання. Тоді

= , де 1 , 2, 3- попадання відповідно в першу, другу та третю зони

Р( )=Р( 1) + Р( 2 )+ Р( 3) = 0,15+0,23+0,17=0,55,

Звідки Р(А)=1-Р( )=0,45.

Задача 4. На екзамені може бути запропоновано N питань. Студент знає відповіді на n питань. Екзаменатор задає студентові k питань, а для того, щоб скласти екзамен, треба відповісти не менше, як на r питань (r
Задача 5. У лотарєї є n білетів, серед яких є m виграшних. Обчислити ймовірність виграшу для того хто має r білетів. Відповідь. р= .Задача 6. Учасник лотереї “Спортлото” з 49 назв видів спорту (позначених числами від 1 до 49) повинен назвати 6. Повний виграш одержує той, хто правильно вкаже всі шість назв. Виграші одержують і ті, хто вгадає не менше трьох назв. Обчислити ймовірність повного виграшу в спортлото. Обчислити ймовірність того, що учасник спортлото відгадає 5, 4 і 3 назви. Яка ймовірність одержати виграш у “Спортлото”?

Теорема 2. Нехай А та В - випадкові події. Тоді ймовірність появи хоча б однієї з двох сумісних подій дорівнює сумі ймовірностей цих двох подій без ймовірності їх сумісної появи:

Теорема може бути узагальнена на довільне число сумісних подій.

Теорема 3. Нехай А1, А2, …,Аn  випадкові події. Тоді

Приклад (задача про співпадання).

На окремих картках написані числа 1, 2, …., n. Картки розташовані в “абсолютно випадковому” порядку. Яка ймовірність того,що хоча б одне з чисел буде на місці з таким же номером?

Під “абсолютно випадковим” розташуванням карточок ми розуміємо наступне: всі n! можливих перестановок карточок рівноможливі. Нехай Ai  подія, що полягає в тому, що картка з номером i опиниться на місці з номером і. Треба обрахувати . Маємо :