Аксіоми теорії ймовірностей. Теорема додавання ймовірностей
Нехай простір елементарних подій. Припустимо, що в виділена система підмножин, яка є алгеброю. Це означає, що
A1)
A2) якщо A , то Ā \ A
A3) якщо Aі , ( і=1, 2, …), то .
Множини з називають випадковими подіями. Припустимо, що кожній випадковій події А (множині з ) поставлено у відповідність число Р(А) (назвемо його ймовірністю випадкової події А)таке,що виконані умови:
P1) Р(А) 0 для кожної А ;
P2) =1;
P3) якщо {Ai} послідовність випадкових подій така, що Ai Aj = , то .
Твердження А1, А2, А3, Р1, Р2, Р3 становлять систему аксіом теорії ймовірностей. У такому вигляді аксіоматика теорії ймовірностей була зформульована А.М. Колмогоровим та виявилася надзвичайно плідною для розвитку теорії ймовірностей та цілої низки її нових розділів, насамперед теорії випадкових процесів.
Зазначимо, що аксіоми Р1 та Р3 вказують на те, що функція множини Р(А), визначена на , є мірою, що задовольняє додаткову умову Р() = 1. Така міра називається ймовірнісною мірою. Трійка , Р , де є -алгебра підмножин із , а Р() ймовірнісна міра на , називається ймовірнісним простором. Кажуть, що побудована ймовірнісна модель експерименту, якщо побудовано ймовірнісний простір , Р , т.б. вказано простір
елементарних подій , алгебра випадкових подій та визначена ймовірнісна міра Р() на .
Приклад.[1].Розглянемо стохастичний експеримент з cкінечним числом однаково можливих елементарних подій 1, 2, …, n. В якості візьмемо -алгебру всіх підмножин із . Нехай Р(А) = m n , де m число елементарних подій, що входять до А. Тоді всі твердження А1, А2, А3, Р1, Р2, Р3 виконані. Таким чином ймовірнісна модель даного експерименту.
Побудова ймовірнісного простору , Р є основним етапом в створенні математичної моделі (формалізації) того чи іншого експеримента.
Задача.За допомогою аксіом теорії ймовірностей довести, що а) Р() = 0;
б) Р(Ā) = 1 - Р(А); в) якщо АВ, то Р(А) Р(В); г) Р(А) 1 для кожної випадкової події. Розв’язування.
а) Р() = 0. Це випливає із рівності властивостей ймовірності Р 2 та Р3.
б) Р(Ā) = 1 - Р(А). Так як Ā та Ā , то згідно аксіомі Р3 маємо, що Р(А) + Р(Ā) = Р(). Тому Р(Ā) = 1 - Р(А).
в) якщо АВ, то Р(А) Р(В). Дійсно, так як
В, то за аксіомою Р3 Р(В) = =Р() + Р(ĀВ). Звідки Р(В) Р(А), так як Р(Ā В) 0.
г) Р(А) 1. Для цього досить скористатися розв’язком попередньої задачі ) та аксіомою Р2 .
Теорема додавання ймовірностей