Абсолютно неперервні випадкові величини

Математичне сподівання випадкової величини. Нехай

() – випадкова величина на ймовірному просторі ( Р).

Випадкова величина () має математичне сподівання, якщо існує інтеграл

де р (х)- щільність розподілу ().

Якщо g(x) – однозначна функція і , то

Математичне сподівання суми випадкових величин дорівнює сумі математичних сподівань.

Математичне сподівання добутку незалежних випадкових величин дорівнює добутку математичних сподівань.

Дисперсія випадкової величини.

D = M( -M )2=M 2- (M )2.

Випадковий вектор (1,…, n) має нормальний розподіл, якщо його щільність розподілу дорівнює

( i =1,…,n ), - визначник, який складений з елементів матриці коваріацій,

-елементи оберненої до матриці .

Задача 1.В книзі Г.Крамера дана функція розподілу рівних доходів осіб, які обкладаються податком:

Визначити розмір річного доходу, який для випадково вибраного платника податку може бути перевершеним з ймовірністю 0,5.

Розв’язування. Р{ x}= 0,5, за умовою задачі.

Р{x}=1 - Р{ < x}=1-1+ (х0 х) = 0,5 (х0 х) = 12, х0 х=(1/2)1/ ,

х0 = (1/2)1/ х, х=2 х0

Задача 2 .Нехай - випадкова величина з неперервною функцією розподілу F(x) і  = F(). Обчислити функцію розподілу.

Розв’язування. Нехай Тоді При (так як F(x) – функція розподілу), при Отже, має рівномір-ний розподіл на [0,1).

Задача 3.Нехай рівномірно розподілена на [0, 1] випадкова величина. Знайти функцію розподілу випадкової величини ln(1-). (Відповідь: показниковий розподіл з параметром ).

Задача 4. Нехай випадкова величина має нормальний розподіл N(а, 2). Показати, що .

Задача 5.Випадкова величина має нормальний розподіл N(0,2). При якому ймовірність попадання в інтервал (а,b) буде максимальною?

Розв’язування.

Задача 6.Нехай має показниковий розподіл з параметром . Обчислити а) М ; б) D ; в) Р{1}.( Вказівка. , ).

Задача 7.Нехай випадкова величина, яка має показниковий розподіл з параметром . Знайти розподіл випадкової величини. Обчислити М.