Визначники та їх властивості
(1.2)
Застосуємо наше визначення до матриць порядку 2 і 3.
Для матриці порядку 3
Два рядки (стовпчики) матриці називаються пропорційними, якщо один з рядків (стовпчиків) одержується множенням всіх елементів іншого рядка (стовпчика) на одне і те саме число, відмінне від нуля. Це можна записати так:
,
де - -й рядок; ; , а .
Рядок називається лінійною комбінацією рядків , якщо , де хоч би одне з чисел відмінне від нуля.
1.2. Властивості визначників
10 . Для довільної квадратної матриці
Доведемо цю властивість за методом індукції. Для матриць порядку 1 це очевидно. Нехай ця властивість справедлива для матриць порядку Доведемо її для матриць порядку
При транспонуванні матриці її ий рядок стає им стовпцем. Скористаємося формулою (1.2) для го стовпця
.
Але елементи матриці - це елементи матриці визначники матриці порядку визначники транспонованої матриці порядку , які за припущенням є рівні. Тому
20. Якщо один з рядків (стовпчиків) матриці помножити на число , то визначник матриці також помножиться на
Доведення випливає із формули (1.1) або (1.2), виходячи із властивості, що постійний множник можна виносити за знак суми.
30. Якщо поміняти місцями два рядки (стовпчики), то визначник змінить знак на протилежний.
Доведемо спочатку цю властивість для двох сусідніх рядків (стовпчиків). Якщо ий рядок стане на місце го, то, розклавши визначник за елементами го рядка (формула 1.1), одержимо
Якщо тепер поміняти ий з на им рядком , то, очевидно, потрібно здійснити сусідніх перестановок рядків раз. Це значить, що знак визначника змінюватиметься непарну кількість разів, тобто змінить знак на протилежний.
40. Визначник, що містить два однакові рядки (стовпчики), дорівнює нулю.
Дійсно, помінявши два однакових рядки (стовпчики), визначник, очевидно, не зміниться. Але за властивістю 30 він змінить
знак на протилежний, тобто
50. Визначник не змінюється, якщо до одного з рядків (стовпчиків) матриці додати інший рядок (стовпчик) цієї матриці.
Нехай до го рядка матриці додали ий її рядок, тобто і