Визначники та їх властивості
План
•Визначення матриці.
•Означення визначника.
•Обчислення визначників другого і третього порядку.
•Властивості визначників.
1. ВИЗНАЧНИКИ (ДЕТЕРМІНАНТИ)
1.1. Означення
Означення. Сукупність чисел, які розташовані у вигляді таблиці із рядків та стовпчиків називається матрицею розміру
Коротко матриця з елементами позначається Якщо кількість рядків дорівнює кількості стовпчиків , то така матриця називається квадратною, а число її рядків – її порядком.
Матриця називається одиничною, якщо всі елементи головної діагоналі дорівнюють одиниці, а всі інші елементи є нулями. Одиничну матрицю будемо позначати буквою Матриця називається діагональною, якщо всі її елементи-нулі, крім елементів головної діагоналі. Матриця називається Матрицею трикутного вигляду називається матриця, в якої вище або нижче головної діагоналі всі елементи нулі. Якщо рядки матриці поміняти на стовпчики, а стовпчики на рядки, то така матриця називається транспонованою до даної і позначається .
Символ в математиці означає сумування. Так,
Індекс називається індексом сумування.
Мають місце такі правила сумування:
Означення. Визначником (детермінантом ) квадратної матриці називається число, що ставиться у відповідність цій матриці і обчислюється за її елементами у відповідності з наступними означеннями:
1) Визначником матриці порядку 1 називається єдиний елемент цієї матриці.
2) Визначником матриці порядку називається число
(1.1)
де детермінант матриці порядку що одержується із шляхом викреслювання -го рядка та -го стовпчика. Формула (1.1) дає розклад визначника за елементами -го рядка, де Ця формула зводить визначник матриці -го порядку до обчислення визначників квадратних матриць -го порядку, а далі, за тією ж формулою ми виразимо через визначники матриць порядку . Можна продовжувати цей процес, поки не прийдемо до матриць першого порядку, для яких детермінант
визначено безпосередньо.
Числа називаються алгебраїчними доповненнями до елементів
Можна також розкладати визначник за елементами -го стовпчика за формулою