Поверхні обертання. Циліндричні та конічні поверхні. Канонічні рівняння поверхонь другого порядку (сфера, еліпсоїд, гіперболоїди, еліптичний і гіперболічний параболоїди).

яка називається конусом другого порядку. Конус складається із прямих, що проходять       через початок координат. Переріз конуса

площинами , що перпендикулярні осі представляють собою еліпси

           

3.7.3. Еліпсоїд

            Розглянемо поверхню, утворену від обертання еліпса  навколо осі Така поверхня називається еліпсоїдом обертання, рівняння якої . Якщо кожну точку на еліпсоїді обертання зсунемо до площини то всі точки еліпсоїда переходять в точки поверхні, що називається еліпсоїдом (рис.3.27). Рівняння еліпсоїда має вигляд                                                          

Еліпсоїд представляє собою   замкнуту поверхню з центром симетрії в початку координат. Еліпсоїд отримується із еліпсоїда обертання стиском так само, як і еліпс отримується стиском кола. Очевидно, коли всі півосі рівні, із (3.47) ми одержимо рівняння сфери

3.7.4. Однопорожнинний і двопорожнинний гіперболоїди

            При обертанні гіперболи  навколо осі (яка її не перетинає) одержимо поверхню, яка називається однопорожнинним гіперболоїдом обертання

            В результаті стиску цієї поверхні по осі  ми отримаємо поверхню, що називається однопорожнинним гіперболоїдом . рівняння цієї поверхні має вигляд

                                        

            Через кожну точку однопорожнинного гіперболоїда проходять дві прямі (прямолінійні твірні)

    Дійсно, перемноживши два рівняння і скоротивши на , отримаємо  тобто рівняння однопорожнинного гіперболоїда . А це значить, що всі точки прямих ліній при всеможливих значеннях  і  лежать на однопорожнинному гіперболоїді.

        Такі ж  міркування можна провести і для сімейства прямих

          Поверхня, що складається із прямих ліній, називається лінійчатою поверхнею. Отже, однопорожнинний гіперболоїд – приклад лінійчатої поверхні.

            Якщо обертати гіперболу  навколо осі  (осі, яка її перетинає), то отримаємо поверхню, що називається двопорожнинним гіперболоїдом обертання. Рівняння цієї поверхні

В результаті стиску цієї поверхні одержимо поверхню з рівнянням

Поверхня, яка в деякій прямокутній декартовій системі координат має рівняння вигляду (3.49), називається двопорожнинним гіперболоїдом . Двом віткам гіперболи відповідають дві не зв’язані між собою частини поверхні. 

3.7.5. Еліптичний та гіперболічний параболоїди

            При обертанні параболи навколо  її осі симетрії отримаємо поверхню, що називається параболоїдом обертання. Її рівняння

            Стискаючи її до площини параболоїд обертання переходить в поверхню з рівнянням

            Поверхня, яка в деякій прямокутній декартовій системі координат має рівняння (3.50), називається еліптичним параболоїдом Відмітимо, що перерізи еліптичного параболоїда площинами, що перпендикулярні осі представляють собою еліпси, а площинами, що паралельні площинам  та параболи.