Поверхні обертання. Циліндричні та конічні поверхні. Канонічні рівняння поверхонь другого порядку (сфера, еліпсоїд, гіперболоїди, еліптичний і гіперболічний параболоїди).
План
·Поверхні обертання.
·Циліндричні поверхні.
·Конічні поверхні.
·Еліпсоїд.
·Однопорожнинний і двопорожнинний гіперболоїди.
·Еліптичний та гіперболічний параболоїди.
3.7. Поверхні другого порядку
Розглянемо алгебраїчні поверхні другого порядку. Загальне рівняння такої поверхні має вигляд:
Опишемо важливі поверхні другого порядку. Скласти собі загальне представлення про більшість поверхонь другого порядку можна, розглянувши поверхні обертання ліній другого порядку навколо їх осей симетрії.
3.7.1. Поверхні обертання
Поверхня , утворена від обертання деякої плоскої лінії , що лежить в площині яка проходить через пряму , навколо цієї прямої, називається поверхнею обертання. Пряма називається віссю обертання. Кожна точка лінії при цьому опише коло (рис.3.25).
Виберемо прямокутну (не обов’язково прямокутну) декартову систему координат причому вісь направимо вздовж а вісь помістимо в площині Нехай лінія від обертання якої одержана поверхня, має в цій системі координат рівняння
Розглянемо точку Через неї проходить коло, яке має центр на осі і лежить в площині, що
перпендикулярна цій осі
Радіус кола дорівнює віддалі від до осі, тобто Точка лежить на поверхні обертання тоді і тільки тоді, коли на даному колі буде точка що належить лінії
Точка лежить в площині , тому Крім того, і оскільки точка лежить на колі, що проходить через Координати точки задовольняють рівнянню лінії Підставляючи в це рівняння і , ми отримаємо необхідну і достатню умову того, що точка лежить на поверхні
Рівняння є рівнянням поверхні обертання лінії навколо осі
3.7.2. Конічні поверхні
Розглянемо на площині пару прямих, що перетинаються і які мають в системі координат рівняння Поверхня обертання цієї лінії навколо осі згідно формули має рівняння
і носить назву прямого кругового конуса
Стиск (або розтяг ) по осі переводить прямий круговий конус в поверхню з рівнянням