Натуральні логарифми
2. Границі при та при
Границя відношення при .
Покажемо, що
1. Нехай . Оскільки розглядається в малому околі нуля, то можна припустити, що .
Тепер треба показати, що для будь-якого як завгодно малого числа існує таке число , що з нерівності випливає нерівність.Доведемо спочатку допоміжні нерівності, а саме: покажемо, що при справджуються нерівності .
Візьмемо коло з центром у довільній точці і радіусом, що дорівнює одиниці (рис.5.1), а також , радіанна міра якого .
Оскільки радіус кола дорівнює одиниці, то довжина відрізка дорівнює , а довжина відрізка .
Порівняємо площі трикутника , сектора і трикутника . Оскільки площа частини менша від площі цілого, то ці площі поєднані подвійною нерівністю . Але
Підставивши значення в останні нерівності і відкинувши спільний множник , одержимо
Оскільки і , то при діленні на знак нерівності зберігається і приходимо до нерівності
В силу цього за теоремою про границю змінної величини, що знаходиться між двома іншими ( і ), які мають спільну границю, знаходимо
.
Нехай . Введемо нову змінну за формулою . Тоді
Слід зауважити, що при розв’язанні цієї задачі ми не робили ніякого припущення про те, що є строго аргументом. Тому
Приклади.
Легко бачити справедливість таких нерівностей:
.
(Нерівності зберігають свій знак, оскільки із трьох чисел, більших одиниці, найменше підноситься до найменшого додатного степеня, а найбільше – до найбільшого, також додатного степеня).
Згідно з теоремами про границю добутку і частки маємо
Крайні члени нерівності прямують при до однієї і тієї самої границі – числа .
Правостороння і лівостороння границі функції однієї змінної. Для дальшого викладу теорії необхідно ввести в розгляд поняття правосторонньої та лівосторонньої границь функції. Припустимо, що функція визначена на деякому проміжку , крім можливо, точки .
Означення. Число називається правосторонньою границею функції в точці , якщо для будь-якого як завгодно малого числа існує додатне число таке, що для всіх , які задовольняють нерівності ,
виконується нерівність, і це записують так: