Натуральні логарифми

План

•Границя при

•Число

•Границі при і при

•Натуральні логарифми.

1. Число

Розглянемо послідовність із загальним членом

Доведемо, що така послідовність збіжна. Для цього обґрунтуємо, що послідовність - зростаюча і обмежена зверху.

а) Покажемо, що

За формулою Ньютона для бінома

У правій частині рівності (5.13) маємо доданків, тоді як в рівності (5.12) - Крім цього, кожний доданок, починаючи з третього, більший за відповідний доданок правої частини рівності (5.12), а перші два доданки рівні між собою.

Тому

б) Покажемо, що послідовність є обмежена зверху. Справді, якщо в правій частині рівності (5.12) вираз в круглих дужках

на одиницю, то матимемо

У правій частині нерівності (5.14) в кожному доданку, починаючи з другого, замінимо в знаменнику співмножники, більші за 2, числом 2.

Матимемо

Члени правої частини (5.15), починаючи з другого, утворюють спадну геометричну прогресію із знаменником Сума правої частини (5.15) дорівнює:

Отже,

Тому існує границя послідовності Її позначають буквою :

Число відіграє надзвичайно велику роль як для самого аналізу, так і для його застосування. Наближене значення його з точністю до 0,0001:

Деякі властивості числа роблять особливо зручним вибір саме цього числа основою логарифмів. Ці логарифми називають натуральними і позначають символом (не вказуючи основи).

У теоретичних дослідженнях використовують виключно натуральні логарифми.

Десяткові логарифми знаходять через натуральні за формулою

де модуль переходу,