Наближене розв’язування рівнянь: графічне відокремлення коренів, методи проб, хорд і дотичних. Дотична і нормаль до кривої

2. Наближене розв’язування рівнянь

Розглянемо рівняння і нехай - його дійсний корінь, тобто Геометрично рівність означає, що графік функції проходить через точку осі Далі ми будемо розв’язувати задачу про знаходження з наперед заданою точністю наближеного значення кореня рівняння Спочатку розглянемо питання про відокремлення коренів рівняння.

Корінь рівняння відокремлений, якщо знайдено відрізок ( позначимо його ), в якому, крім , немає інших коренів цього рівняння.

Задача відокремлення коренів рівняння розв’язується просто, якщо побудова графіка функції не є важкою. Дійсно, маючи графік функції , легко виділити відрізки, в кожному із яких знаходиться лише один корінь розглядуваного рівняння, або, що те саме, виділити відрізки, на кожному із яких є лише одна точка перетину кривої з віссю

Відділити корені рівняння при умові, що - диференційована функція, можна не лише графічно. Нехай на кінцях деякого відрізка функція має значення різних знаків. Тоді за властивістю неперервних функцій ця функція на інтервалі по меншій мірі один раз обертається в нуль, тобто рівняння має по меншій мірі один корінь.

Якщо похідна зберігає знак на відрізку , то внаслідок монотонності функції рівняння на інтервалі має єдиний корінь.

У цьому випадку числа та є наближеними значеннями кореня відповідно з нестачею і з надлишком. Ці інтервали можна звужувати, тоді границі їх будуть давати все точніші наближення для коренів рівняння.

Нехай корінь рівняння відокремлений, тобто є відрізок , на якому, крім , немає інших коренів цього рівняння.

Відшукаємо значення з будь-якою точністю за таких допущень: функція має на відрізку неперервні похідні до другого порядку включно і, крім того, похідні і зберігають знаки на цьому відрізку. Із цих умов випливає, що - монотонна функція на відрізку , яка на кінцях має різні знаки, а також, що крива опукла або вгнута

Уточнимо корінь рівняння способами хорд і дотичних. Зміст цих способів полягає в тому, що точка перетину кривої з віссю замінюється точкою перетину з віссю відповідно хорди ( в методі хорд ) і дотичної (в методі дотичних ).

7.2.1.Метод хорд

Напишемо рівняння хорди :

і покладемо в нього . Знайдемо - абсцису точки перетину

хорди з віссю :

Із умов, яким задовольняє функція , випливає, що Позначимо через точку кривої , відповідну (рис.7.3).

Розглянемо хорду та знайдемо її точку перетину з віссю

Продовжуючи цей процес, означимо послідовність :

Послідовність - монотонна, обмежена і збіжна. Можна довести, що .

Абсолютна похибка -го наближення оцінюється за нерівністю

де - найменше значення на відрізку Тому можна зупинити процес тоді, коли стане менше допустимої похибки результату.