Властивості математичного сподівання і дисперсії

Дисперсія (з лат. – розсіяність). В більшості випадків тільки математичне сподівання не може в достатній мірі характеризувати випадкову величину.

Приклад №1

При однаковій середній величині опадів в двох місцевостях за рік не можна казати, що клімат цих міст однаковий.

Приклад №2

Середня заробітна платня не дає можливості казати про питому вагу високо й низькооплачуваних робітників, тобто по математичному сподіванню не можна казати, які відхилення від нього хоча б у середньому можливі.

Найбільш розповсюджена міра розсіювання – це дисперсія та безпосередньо отримане з неї середнє квадратичне відхилення.

Розкид значень випадкової величини X від її математичного сподівання а характеризують різницю хі–а, однак середнє значення їх не може характеризувати розсіювання, тому що, відповідно наслідку, математичне сподівання цієї різниці буде дорівнювати 0. Отже розглядають квадрати вказаних відхилень:

Це математичне сподівання й називається дисперсією випадкової величини X, а позначається D(x) або

Дисперсією випадкової величини X називається математичне сподівання квадрату відхилення її математичного сподівання.

Середнім квадратичним відхиленням випадкової величини X називається арифметичне значення квадратного кореню від дисперсії, тобто:

Властивості дисперсії

1.Дисперсія постійної величини дорівнює нулю D(с)=0

2.Постійний множник виноситься за знак дисперсії, якщо піднести його до квадрату, тобто:

3.Дисперсія випадкової величини дорівнює математичному сподіванню квадрату її без квадрату математичного сподівання цієї величини:

4.Дисперсія суми скінченої кількості незалежних випадкових величин дорівнює сумі дисперсій цих величин:

Наслідок:

Середньоквадратичне суми скінченого числа незалежних випадкових величин дорівнює квадратному кореню з суми квадратів середньоквадратичних відхилень, тобто:

5) Дисперсія різниці незалежних випадкових величин дорівнює:

Математичні сподівання

та дисперсії деяких випадкових величин.

Теорема 1 Якщо X1, X2,…,XN однаково розподілені випадкові величини, математичні сподівання кожної з яких дорівнює а , тоді математичне сподівання їх суми дорівнює na, тобто

М(Х1+ Х2+ …Хn )=na