Знакочергуючі ряди. Ознака Лейбніца. Оцінка залишку ряду. Абсолютна і умовна збіжності знакозмінних рядів. Властивості абсолютно збіжних рядів

Зауваження 2. Якщо знакочергуючий ряд задовольняє умови теореми Лейбніца, то можна оцінити похибку. яку ми допускаємо, замінюючи його суму частинною сумою При такій заміні ми відкидаємо всі члени ряду, починаючи з Але ці числа суми утворюють знакочергуючий ряд, сума якого за абсолютною величиною менша першого члена цього ряду, тобто Значить, помилка, що допускається при заміні на, не перевищує за абсолютною величиною першого члена, який відкидаємо.

Приклад. Найпростішими рядами лейбніцівського типу є ряди

Збіжність обох рядів випливає із доведеної теореми.

2. Знакозмінні ряди. Абсолютна та умовна збіжності

Ряд, члени якого мають довільні знаки, називається знакозмінним. Серед них можуть бути члени як додатні, так і від’ємні.

Очевидно, що знакочергуючі ряди, розглянуті в попередньому параграфі, є частинним випадком знакозмінних рядів.

Ми будемо вважати, що члени ряду

можуть бути як додатними, так і від’ємними.

Теорема 1. Якщо знакозмінний ряд такий, що ряд, складений із абсолютних величин його членів

збігається, то й даний ряд також збігається.

Д о в е д е н н я. Позначимо через і частинні суми рядів (13.20) і (13.21).

Нехай дальше сума всіх додатних, а сума абсолютних величин всіх від’ємних членів серед перших членів ряду; тоді

За умовою теореми ряд збігається, тому існує і додатні зростаючі величини, які менші за . Отже, вони мають скінченні границі і Із співвідношення випливає, що і має границю і ця границя дорівнює , тобто знакочергуючий ряд збігається.

Зауважимо, що ознака збіжності, яка вище доведена, є тільки достатньою ознакою збіжності знакозмінного ряду, але не необхідною.

Існують такі знакозмінні ряди (13.20), котрі збігаються, а ряди, складені із абсолютних величин їх членів, розбігаються. В зв’язку з цим вводяться поняття абсолютної та умовної збіжності.

Означення. Знакозмінний ряд (13.20) називається абсолютно збіжним, якщо збігається ряд , складений із абсолютних величин його членів. Якщо ж знакозмінний ряд збігається, а ряд , складений із абсолютних величин його членів, розбігається, то даний знакозмінний ряд називається умовно або неабсолютно збіжним.

За допомогою поняття абсолютної збіжності теорему 1 часто формулюють таким чином: всякий абсолютно збіжний ряд є збіжним

рядом.

Приклад 1. Дослідити збіжність ряду

Р о з в ‘ я з о к. Розглянемо ряд, складений із абсолютних величин членів даного ряду

Для дослідження збіжності цього ряду використаємо ознаку порівняння:

тому і ряд розбігається.