Знакочергуючі ряди. Ознака Лейбніца. Оцінка залишку ряду. Абсолютна і умовна збіжності знакозмінних рядів. Властивості абсолютно збіжних рядів

План

•Знакочергуючі ряди

•Ознака Лейбніца

•Оцінка залишку ряду

•Знакозмінні ряди

•Абсолютна та умовна збіжності

•Властивості абсолютно збіжних та умовно збіжних рядів

1. Знакочергуючі ряди

До цих пір ми розглядали ряди, в яких члени були додатні. Тепер розглянемо ряди, члени яких мають знаки, що чергуються, тобто такі ряди:

де додатні.

Теорема Лейбніца. Якщо в знакочергуючому ряді (13.16) члени ряду такі, що

то ряд (13.16) збігається, його сума додатна і не перевищує першого члена.

Д о в е д е н н я. Частинну суму парного порядку можна написати у вигляді:

Оскільки кожна дужка, в силу нерівностей (13.17) , є додатною величиною, то звідси видно, що із зростанням частинна сума також зростає. З іншого боку, якщо переписати так:

то легко побачити, що залишається зверху обмеженою

В такому випадку, за теоремою про монотонну послідовність, при необмеженому зростанні частинна сума має скінчену границю

Розглянемо тепер суму непарного порядку :

Очевидно, що Оскільки загальний член ряду прямує до нуля, то

Звідси випливає, що і буде сумою даного ряду.

Частинні суми парного порядку наближаються до суми

ряду, зростаючи. Написавши у вигляді

легко встановити, що суми непарного порядку прямують до, спадаючи. Таким чином, завжди

Зокрема, можна стверджувати

Теорема доведена.

Зауваження 1. Теорема Лейбніца справедлива і в тому випадку, якщо нерівності виконуються, починаючи з деякого