Системи диференціальних рівнянь

1. Геометрична інтерпретація розв’язків

Назвемо -вимірний простір змінних розширеним фазовим простором . Тоді розв’язок визначає в просторі деяку криву, що називається інтегральною кривою. Загальний розв’язок (чи загальний інтеграл) визначає сім’ю інтегральних кривих, що всюди щільно заповнюють деяку область (область існування та єдиності розв’язків). Задача Коші ставиться як виділення із сім’ї інтегральних кривих, окремої кривої, що проходить через задану початкову точку

2. Механічна інтерпретація розв’язків

В евклідовому просторі змінних розв’язок визначає закон руху по деякій траєкторії в залежності від часу . При такій інтерпретації функції є складовими швидкості руху, простір зміни перемінних називається фазовим простором, система динамічної, а крива, по якій відбувається рух - фазовою траєкторією. Фазова траєкторія є проекцією інтегральної кривої на фазовий простір.

3. Зведення одного диференціального рівняння вищого порядку до системи рівнянь першого порядку

Нехай маємо диференціальне рівняння

Розглянемо заміну змінних

.

Тоді одержимо систему рівнянь

4. Зведення системи диференціальних рівнянь до одного рівняння вищого порядку

Нехай маємо систему диференціальних рівнянь

і заданий її розв’язок . Якщо цей розв’язок підставити в перше рівняння, то вийде тотожність і її можна диференціювати

Підставивши замість їх значення, одержимо

Знову диференціюємо це рівняння й одержимо

Продовжуючи процес далі, одержимо

Таким чином, маємо систему

Припустимо, що Тоді систему перших - рівнянь

можна розв’язати відносно останніх змінних і одержати

Підставивши одержані вирази в останнє рівняння, запишемо

Або, після перетворень

одержимо одне диференціальне рівняння -го порядку.

У загальному випадку, одержимо, що система диференціальних рівнянь першого порядку

зводиться до одного рівняння -го порядку