Лінійні неоднорідні системи
Як випливає з останньої теореми, для побудови загального розв’язку неоднорідної системи потрібно розв’язати однорідну і яким-небудь засобом знайти частинний розв’язок неоднорідної системи. Розглянемо метод, який називається методом варіації довільної сталої.
Нехай маємо систему
і - загальний розв’язок однорідної системи. Розв’язок неоднорідної будемо шукати в такому ж вигляді, але вважати не сталими, а невідомими функціями, тобто і ,чи в матричній формі
де -фундаментальна матриця розв’язків, - вектор з невідомих функцій. Підставивши в систему, одержимо
Оскільки - фундаментальна матриця, тобто матриця складена з розв’язків, то
і залишається система рівнянь .
Розписавши покоординатно, одержимо
Оскільки визначником системи є визначник Вронського і він не дорівнює нулю, то система має єдиний розв’язок і функції визначаються в такий спосіб
Звідси частинний розв’язок неоднорідної системи має вигляд
Для лінійної неоднорідної системи на площині
метод варіації довільної сталої реалізується таким чином.
Нехай
Фундаментальна матриця розв’язків однорідної системи. Тоді частинний розв’язок неоднорідної шукається у вигляді
Звідси
І загальний розв’язок має вигляд
де - довільні сталі.
4. Метод невизначених коефіцієнтів
Якщо система лінійних диференціальних рівнянь з сталими коефіцієнтами, а векторна функція спеціального виду, то частинний розв’язок можна знайти методом невизначених коефіцієнтів. Доведення існування частинного розв’язку зазначеного виду аналогічно доведенню для лінійних рівнянь вищих порядків.
1) Нехай кожна з компонент вектора є многочленом степеня не більш ніж, тобто
а) Якщо характеристичне рівняння не має нульового кореня, тобто, то частинний розв’язок шукається в такому ж вигляді, тобто
б) Якщо характеристичне рівняння має нульовий корінь кратності, тобто, те частинний розв’язок шукається у вигляді многочлена степеня , тобто
Причому перші - коефіцієнти, знаходяться точно, а інші з точністю до сталих інтегрування , що входять у загальний розв’язок однорідних систем.