Лінійні неоднорідні системи

Система диференціальних рівнянь, що записана у вигляді

чи у векторно-матричному вигляді

називається системою лінійних неоднорідних диференціальних рівнянь.

1. Властивості розв’язків лінійних неоднорідних систем

Властивість 1. Якщо вектор є

розв’язком лінійної неоднорідної системи, a розв’язком відповідної лінійної однорідної системи, то сума - є розв’язком лінійної неоднорідної системи.

Дійсно, за умовою

тобто є розв’язком неоднорідної системи.

Властивість 2 (Принцип суперпозиції). Якщо вектори, є розв’язками лінійних неоднорідних систем

де, то вектор, де - довільні сталі буде розв’язком лінійної неоднорідної системи

Дійсно, за умовою виконуються - тотожностей

Склавши лінійну комбінацію з лівих і правих частин, одержимо

тобто лінійна комбінація буде розв’язком системи

Властивість 3. Якщо комплексний вектор з дійсними елементами є розв’язком неоднорідної системи , де, то окремо дійсна і уявна частини є розв’язками системи.

Дійсно, за умовою

Розкривши дужки і перетворивши, одержимо

Але комплексні вирази рівні між собою тоді і тільки тоді, коли рівні дійсні та уявні частини, що і було потрібно довести.

Теорема (про загальний розв’язок лінійної неоднорідної системи). Загальний розв’язок лінійної неоднорідної системи складається із суми загального розв’язку однорідної системи і якого-небудь частинного розв’язку неоднорідної системи.

Доведення. Нехай - загальний розв’язок однорідної системи і - частинний розв’язок неоднорідної. Тоді, як випливає з властивості 1, їхня сума буде розв’язком неоднорідної системи.

Покажемо, що цей розв’язок загальний, тобто підбором сталих, можна розв’язати довільну задачу Коші

Оскільки - загальний розв’язок однорідного рівняння, то вектори лінійно незалежні і система алгебраїчних рівнянь

має єдине розв’язок. І лінійна комбінація с отриманими сталими, є розв’язком поставленої задачі Коші.

2. Побудова частинного розв’язку неоднорідної системи методом варіації довільних сталих