Метод розкладу визначника в суму визначників

(x,x,x,…,x +n) = (x,x,x,…,x) + (0,0,0,…,n).

Таким чином, за першим рядком визначник можна розкласти в суму двох визначників:

Далі кожний з двох одержаних визначників можна розкласти в суму двох визначників за другим рядком. Одержуємо суму чотирьох визначників:

Кожний з одержаних визначників можна розкласти в суму двох визначників за 3-м рядком і т.д. На кожному кроці число доданків збільшується в два рази. В результаті, після розкладу в суму послідовно за всіма рядками, одержуємо суму 2n визначників.

Рядки, в суму яких розкладається рядок даного визначника, можна умовно поділити на два типи. Рядком першого типу будемо вважати рядок (x,x,x,…,x). Рядками другого типу будемо вважати рядки (1,0,0,…,0),(0,2,0,…,0), (0,0,3,…,0),...,(0,0,0,…,n). Після остаточного розкладу визначника за всіма рядками кожен з одержаних визначників складається лише з рядків першого та другого типів. Рядком першого типу є рядок (x,x,x,…,x). Тому, якщо у визначнику є принаймні два рядки першого типу, то у цьому визначнику є принаймні два однакових рядки, і цей визначник дорівнює нулю. Таким чином, для обчислення визначника  достатньо з суми 2n визначників взяти лише суму ненульових визначників. Ненульовими є визначники, які або не мають рядків першого типу, або мають лише один такий рядок. Якщо у визначнику немає рядка першого типу, то всі його рядки є рядками другого типу. Існує лише один такий визначник

Якщо лише один рядок визначника є рядком першого типу, то решта n-1 рядків є рядками другого типу. У такому визначнику рядок першого типу може стояти на будь-якому місці, тобто бути першим рядком, другим і т.д. Тому існує n таких визначників

Визначник 0 є визначником трикутного вигляду відносно головної діагоналі. Тому

0 = = 12…n = n!

Обчислімо визначник i при і 1.

У визначнику i рядок першого типу знаходиться на і-му місці. У і-му стовпчику визначника i є лише один ненульовий елемент x, який знаходиться в і-му рядку. Розкладемо визначник i за елементами і-го стовпчика:

Приклад 17. Обчислити визначник

Розв’язування. Зрозуміло, що порядок визначника дорівнює n (наприклад, на головної діагоналі n елементів). Діагональні елементи визначника можна подати у вигляді

xi = xi-aibi + aibi; i = 1,2,…,n.

Розкладемо перший рядок визначника в сумі двох рядків:

(x1,a1b2, a1b3,…, a1bn) = (x1-a1b1+ a1b1,a1b2, a1b3,…, a1bn) =

= (a1b1,a1b2, a1b3,…, a1bn) + (x1-a1b1,0, 0,…, 0).

Аналогічно, в суму двох рядків розкладемо решту рядків:

(a2b1, x2,a2b3,…, a2bn) = (a2b1,x2-a2b2+ a2b2, a2b3,…, a2bn) =

= (a2b1,a2b2, a2b3,…, a2bn) + (0,x2-a2b2,0,…, 0).

(a3b1, a3b2, x3,…, a3bn) = (a3b1,a3b2, x3-a3b3+ a3b3, …, a3bn) =