Метод розкладу визначника в суму визначників

В основі методу знаходиться властивість 6 визначників. Якщо деякий рядок (стовпчик) визначника є сумою двох рядків (стовпчиків), то визначник можна розкласти за даним рядком (стовпчиком) в суму двох визначників. Наприклад, нехай у визначнику i–й рядок є сумою двох рядків, тоді виконується

Аналогічно, якщо деякий рядок (стовпчик) визначника є сумою k рядків (стовпчиків), то визначник можна розкласти за даним рядком (стовпчиком) в суму k визначників.

В деяких випадках визначник можна розкласти в суму двох або більшого числа визначників, яки неважко обчислити.

Приклад 15. Обчислити визначник

Розв’язування. Зрозуміло, що порядок визначника дорівнює n+1 (у першому стовпчику n+1 елементів). Елемент визначника, що знаходиться на місці (1,1) можна подати в вигляді 0=-1+1, тобто

Тоді перший рядок визначника можна розкласти в суму двох рядків (для зручності рядок визначника запишемо у вигляді вектора):

(-1+1,1,1,...,1,1) = (-1,0,0,0,...,0,0) + (1,1,1,1,...,1,1).

За першим рядком визначник можна розкласти в суму двох визначників

Перший визначник 1 є визначником трикутного вигляду відносно головної діагоналі:

1 = (-1)234...(n+1) = -(n+1)!

Другий визначник

можна звести до трикутного вигляду відносно головної діагоналі. Для цього від другого рядка визначника віднімемо перший

Далі від третього рядка віднімемо перший, помножений на 2, від четвертого віднімемо перший, помножений на 3, і, нарешті, від останнього віднімемо перший, помножений на n.

Одержуємо визначник трикутного вигляду відносно головної діагоналі. Таким чином, 2=11...1 = 1 і, остаточно,

1+2 = 1-(n+1)!

Приклад 16. Обчислити методом розкладу в суму визначників визначник з прикладу 9.

Розв’язування. Порядок визначника дорівнює n. Перший рядок визначника можна розкласти в суму двох рядків (для зручності рядки будемо записувати у вигляді векторів):

(x+1,x,x,…,x) = (x,x,x,…,x) + (1,0,0,…,0).

Аналогічно, в суму двох рядків можна розкласти решту рядків:

(x,x+2,x,…,x) = (x,x,x,…,x) + (0,2,0,…,0),

(x,x,x+3,…,x) = (x,x,x,…,x) + (0,0,3,…,0),

...............................................................................................