Нелінійні диференціальні рівняння вищих порядків

Проінтегрувавши його, маємо

І одержимо параметричний запис рівняння -порядку

Проробивши зазначений процес ще -раз, одержимо загальний розв’язок рівняння в параметричному вигляді

3) Рівняння вигляду

.

Нехай це рівняння вдалося записати в параметричному вигляді

Використовуючи основне співвідношення, одержуємо

Проінтегрувавши, маємо

І одержали параметричний запис рівняння -порядку

Використовуючи попередній пункт, понизивши порядок на одиницю, запишемо

Проробивши останню процедуру -раз, запишемо загальний розв’язок у параметричному вигляді

4) Нехай рівняння вигляду

можна розв'язати відносно старшої похідної

Домножимо його на й одержимо

Перепишемо його у вигляді

Проінтегрувавши, маємо

тобто,

Таким чином одержали параметричний запис рівняння -порядку

і повернулися до третього випадку.

3. Найпростіші випадки зниження порядку в диференціальних рівняннях вищих порядків

Розглянемо деякі типи диференціальних рівнянь вищого порядку, що допускають зниження порядку.

1) Рівняння не містить шуканої функції і її похідних до -порядку включно

Зробивши заміну:

одержимо рівняння -порядку.

2) Рівняння не містить явно незалежної змінної