Нелінійні диференціальні рівняння вищих порядків

1. Загальні визначення. Існування та єдиність розв’язків рівнянь

Диференціальне рівняння -го порядку має вигляд

Якщо диференціальне рівняння розв’язане відносно старшої похідної, то воно має вигляд

Іноді його називають диференціальним рівнянням у нормальній формі. Для диференціального рівняння, розв’язаного відносно похідної, задача Коші ставиться таким чином. Потрібно знайти функцію, - раз неперервно диференційованою, що при підстановці в рівняння обертає його в тотожність і задовольняє початковим умовам. Для диференціального рівняння, не розв’язаного відносно похідної, задача Коші полягає в знаходженні розв’язку, що задовольняє початковим даним

де значення довільні, а один з коренів алгебраїчного рівняння .

Теорема (існування та єдиності розв’язку задачі Коші рівняння, розв’язаного відносно похідної). Нехай у деякому замкненому околі точки функція задовольняє умовам:

1) вона визначена і неперервна по всім змінним;

2) задовольняє умові Ліпшиця по всім змінним, починаючи з другого.

Тоді при, де - досить мала величина, існує і єдиний розв’язок рівняння , що задовольняє початковим умовам

Теорема (існування та єдиності розв’язку задачі Коші рівняння, не розв’язаного відносно похідної). Нехай у деяком замкненому околі точки функція задовольняє умовам:

1) вона визначена і неперервна по всім змінним;

Тоді при, де - досить мала величина, існує і єдиний розв’язок рівняння , що задовольняє початковим умовам

Визначення. Загальним розв’язком диференціального рівняння -го порядку називається -раз неперервно диференційована функція , що обертає при підстановці рівняння в тотожність, у якій вибором сталих можна одержати розв’язок довільної задачі Коші в області існування та єдиності розв’язків.

2. Диференціальні рівняння вищих порядків, що інтегруються в квадратурах

Розглянемо деякі типи диференціальних рівнянь, що інтегруються в квадратурах.

1) Рівняння вигляду

Проінтегрувавши його -раз одержимо загальний розв’язок у вигляді

Якщо задані умови Коші

то розв’язок має вигляд

2) Рівняння вигляду

Нехай це рівняння вдалося записати в параметричному вигляді

Використовуючи основне співвідношення , одержимо