ДИФЕРЕНЦІАЛ ФУНКЦІЇ

Правило знаходження похідної функції від функції (складної функції) має можливість одержати важливу власність диференціала.

Нехай функції y = f (x) i x = (t) такі, що з них можна одержати складну функцію y = f ( (t)). Якщо існують похідні ух ' xt ', то

Диференціал dy, коли х вважати незалежною змінною, визначається за формулою dy = уx '•dx . Перейдемо тепер до незалежної змінної t: y цьому випадку маємо другий вираз для диференціала dy = yt'•dt.

Заміною похідної уt' її виразом (8) одержимо

Отже, канонічний вираз диференціала функції виявляється справедливим незалежно від вибору останнього аргументу (незалежної змінної).

Канонічний вираз диференціала функції залишається незмінним при різному доборі аргументу. Ми завжди можемо записати диференціал dx y вигляді:

dy = yx'dx

не дивлячись на те, чи буде х незалежною змінною, чи ні; різниця лише в тому, що якщо за незалежну змінну вибране t. То dx не довільний приріст х, а диференціал dx як функцію від t. Цю властивість і називають інваріантність форм.

Застосування диференціала функції в наближених обчисленнях.

При досить малому прирості х аргументу х диференційованої функції f(x) приріст у функції у буде близький за своєю величиною до диференціала функції. Тому приріст функції можна наближено прирівнювати до диференціала функції

якщо позначити х = х - х0, то рівняння (10) приймає вигляд

Таким чином, для значення де, близьких до х0, функцію f (x) наближено можна замінити лінійною функцією. Геометричне це заміні ділянки кривої y=f(x), прилеглої до точки (x0,f(x0), відрізком дотичної до кривої в цій точці:

(див. Рис. 1). Беручи значення х0 = 0 і обмежуючись малими значеннями х, одержимо наближену формулу

Звідси, підставляючи замість f (x) різні елементарні функції, легко одержати ряд формул

(наприклад ) ;

Приведемо декілька прикладів.

Приклад 1) Обчислимо наближено sin 46°.

Приймемо за початкове значення незалежної змінної х0 = 45° , а за х= 1°. Тоді згідно (11)

Приклад 2)Обчислити наближено .

Розглянемо функцію і приймемо за початкове значення незалежної змінної x0 = 4 , а за х = -0,0022. Тоді

Диференціал функцій, заданих у параметричній формі.

У випадку многозначної функції ми повинні ставити такі додаткові умови, внаслідок яких треба розглядати окремі частини цієї функції, тобто однозначні функції. Наприклад розглянемо еліпс, віднесений до його осей симетрії. Рівняння еліпса буде: