Дослідження на збіжність числових рядів з додатними членами (за допомогою ознак Д’Аламбера і Коші)

Знайдемо

Отже, ряд – розбіжний.

Приклад 8. Довести, що .

Розв’язання.

Розглянемо ряд з п-м членом , тобто ряд .

Оскільки

за ознакою Д’Аламбера - розглянутий ряд збіжний. Отже, на підставі необхідної умови збіжності ряду маємо

Приклад 9. Дослідити на збіжність ряд

Розв’язання.

Використаємо ознаку Д’Аламбера:

Оскільки , то даний ряд розбігається.

Приклад 10. Дослідити на збіжність ряд

Розв’язання.

Застосуємо до даного ряду ознаку Д’Аламбера:

тобто даний ряд є збіжним.

До даного ряду можна застосувати також ознаку Коші. Оскільки

Отже, за ознакою Коші ряд збігається.

Зауваження. Ознаку Д’Аламбера доцільно застосувати до рядів, загальні члени яких містять показникові вирази, добутки або факторіали. Ознакою Коші зручно користуватися при дослідженні рядів, загальні члени яких містять показникові вирази.

Приклад 11. Дослідити на збіжність ряд за допомогою ознаки Коші.

Розв’язання.

Знаходимо:

Тоді за ознакою Коші заданий ряд розбіжний.

Приклад 12. Дослідити на збіжність ряди, користуючись ознакою Коші:

Розв’язання.

а) Маємо Ряд збіжний.