диференціювання функції

Обгрунтування можливості представляти функцію многочленом дає формула Тейлора.

Теорема. Нехай функція f (х) має в точці х0 і в деякому її околі похідні до (n + 1)-го порядку включно, і нехай х — довільне значення аргументу із вказаного околу (х х0). Тоді між точками х0 і х зна¬йдеться така точка с, що справедлива формула

О Позначимо многочлен, то стоїть у правій частині формули

Його називають многочленом Тейлора степеня n для функції (х). Різницю між функціями (х) і (х, x0) позначимо через Rn (х):

Теорема буде доведена, якщо встановимо, що

де точка С лежить між точками х0 і x;.

Зафіксуємо довільне значення х > x0 із вказаного околу. Позначимо через t величину, що змінюється на відрізку [х0;х], тобто х0 t х, і розглянемо функцію

Ця функція задовольняє всі умови теореми Ролля, тому знайдеть¬ся точка с (х0; х) для якої

F'(c) = 0.

Якщо в функцію (4) підставити значення функції (х, t) з форму¬ли (3) і результат продиференціювати по t, то знайдемо

Покладемо у формулі (6) t = с, тоді з рівності (5) дістанемо

Розв'язуючи це рівняння відносно Rn(x), дістанемо формулу (3).

Формула (1) називається формулою Тейлора для функції f(х) в околі точки х0, а вираз (3) для Rn(х) — залишковим членом у формі Лагранжа. Величина Rn(х) показує, яку помилку ми робимо, замінюючи функцію (х) її многочленом Тейлора (2).

При цьому формулу (3) можна використати для того, щоб оцінити величину Rn(х) при х х0 і фіксованому n, а також при n .

Формулою Маклорена називають формулу Тейлора (1) при х0 = 0:

(7)

де точка с знаходиться між 0 i x (с = х, 0 < 0 < 1).

Подамо формулу (1) через диференціали вищих порядків. Для цього покладемо в ній х — х0 = х, х = х0 + х:

Оскільки , то фор¬мулу (8) можна записати у вигляді

Покажемо, що коли функція (х) в околі точки х0 обмежена, то залишковий член Rn(x) при х x0 є нескінченно малою вищого порядку, ніж (х- x0)n:

тому що добуток обмеженої величини на нескінченно малу є величи¬на нескінченно мала.

Таким чином, обриваючи формулу (8) або (9) все далі і далі, дістаємо все точніші наближені формули: з точністю до величини або з точністю до величини

Те саме можна сказати про формулу (1): для тих значень х, для яких залишковий член Rn(х) достатньо малий, многочлен Тейлора (2) дає наближене зображення функції (х).