Про систему задач для вивчення інтеграла

8. Знайдіть множину невід’ємних коренів рівняння: .

9. Знайдіть множину значень , для яких правильна нерівність:

10*. Знайдіть найменше і найбільше значення інтеграла:

Глибоке розуміння геометричного змісту інтеграла допомагає як обчислювати площі різних фігу, так і знаходити числові значення інтегралів, обчислювати які за відомими вивчаючими формулами не вдається.

Скориставшись геометричним змістом інтеграла, можна знаходити числові значення інтеграла від деяких функцій, методи інтегрування яких не відомі учням, а площі фігур, обмежених графіками підінтегральних функцій, можна обчислювати і без допомоги інтеграла.

11. Виходячи із геометричного змісту інтеграла обчисліть:

В деяких випадках обчисленню інтеграла допомагають і додаткові міркування, наприклад застосування симетрії.

12*. Обчисліть: .

Р о з в ’ я з о к. Значення інтеграла чисельно дорівнює площі криволінійної трапеції (рис. 1). Якщо доповнити цю трапецію до прямокутника, сторони якого задані рівнянням а площа дорівнює то із міркувань симетрії відносно точки ясно, що .Геометричні міркування дозволяють знаходити первісні для деяких обернених функцій, які можна показати учням на позакласних заняттях. Нехай, наприклад, потрібно знайти первісну функції арксинус. Зобразимо графік функції , (рис.2а). зафіксуємо деяке значення аргументу , знайдемо на графіку значення . Ясно, що площа криволінійного трикутника, заштрихованого на (рис.2а), є . Графік функції і заштрихований трикутник відобразимо симетрично прямій (рис. 2б). Тепер площу заштрихованого трикутника (а він конгруентний трикутнику на рис. 2а) можна обчислити за допомогою інтеграла, але вже від функції, оберненої до арксинуса, тобто від функції синус:

Отже, . Це і є первісна арксинуса.

Таким самим чином можна знайти первісну ще для деяких функцій, попередньо встановивши, яка функція обернена до даної. Показаний прийом можна застосувати і для обчислення площ (див. [6]).

13*. Знайдіть яку-небудь первісну функції .

14*. Обчисліть:

15*. Знайдіть функції, обернені до даних, і які-небудь первісні для обернених функцій:

16*. Виберіть обернену функцію, первісна якої відома, і знайдіть одну із первісних оберненої функції.

III

Необхідно попереджати можливість формального підходу до обчислення інтегралів. Перед тим як обчислювати інтеграл, потрібно переконатися, що на відрізку інтегрування існує первісна підінтегральної функції: формула Нютона–Лейбніца використовується тільки для неперервних функцій, а вони мають первісну. Щоб не було непорозумінь, корисно привчати учнів перед формальним інтегруванням встановлювати, чи неперервна задана (під інтегралом) функція. З цією метою корисно розглянути наступну задачу:

17. Обчислюючи і , учень знайшов, що .

Чи правильні ці рівності? Якщо ні, то в чому заключається помилка?