диференціальне рівняння

У теоріях і застосуваннях важливе значення має така проблема: скільки інтегральних кривих рівняння (3) проходить через задачу точку А0 (х0; у0) області D.

4. Теорема. Нехай маємо рівняння і області D1 в якій функції f (х0; у0) і визначені і неперервні. Нехай А0 (х0; у0) – довільна точка з області D1. Тоді існує єдиний розв'язок.

у = φ (х)

рівняння (3), який визначений в деякому околі точки х0 і задовольняє початкову умову φ (х0) = у0.

Приклад 2. Розглянемо рівняння

Його права частина f (х0; у0) неперервна при у 0, тобто у верхній півплощині, включаючи вісь, Ох (область D'1). Функція неперервна при у>0, тобто у верхній півплощині, виключаючи вісь Ох (область D1). Рівняння (5) має сім'ю розв'язків:

де С – довільна стала. Формула (6) називається загальним розв'язком рівняння (5). Тоді у = (х+с)2, при чому х+с>Q. В півплощині у>0 функція у = (х+с)2 є розв'язком початкового рівняння, тут х+с>0, тому ч>-с.

Припустимо, що через кожну точку області D1 проходить єдина інтегральна крива рівняння (2). Загальним розв'язком рівняння (2) в області D1 називається функція у = φ (х, с),

Яка: 1) є розв'язком рівняння (2) при всіх значеннях довільної сталої;

2) дає розв'язок Коші є довільними початковими даними (х0, у0) з області D1 при відповідному значення С=С0.

Геометрично розв'язок (6) являє собою сім'ю пів парабол в області D1. Коєжнак інтегральна крива одержується з пів параболи у=х2, х>0 зсувом вліво та вправо на осі Ох.

Безпосередньою підстановкою переконуємось, що рівняння (5) має розв'язок у=0, який не можна одержати ні при якому значенні довільної сталої С.

Розв'язок у=0 називається особливим розв'язком рівняння (5)

Частинним розв'язком рівняння (2) називається розв'язок цього рівняння при фіксованому значенні величини С.

Для знаходження частинного розв'язку, який відповідає початковій умові, потрібно підставити х0 і у0 у рівняння (7) і визначити С = С0 з рівняння

У0 =φ (х0, С)

Шуканий частинний розв'язок матиме вигляд У0 =φ (х, С0) . Особливим розв'язком рівняння (2) називається такий його розв'язок, який не може бути одержаним ні при якому значенні С. Отже, виходить, що інтегральна крива, яка відповідає особливому розв'язку, проходить поза областю єдності задачі Коші.

5. Розглянемо деякі задачі, що приводять до диференціальних рівнянь.Приклад 1. Дослідним шляхом встановлено, що швидкість розмноження бактерій в будь-який момент часу додатня і пропорційна їх масі. Знайти залежність маси бактерій від часу.

Позначимо m (t) масу бактерій в момент часу t; тоді - швидкість розмноження цих бактерій. Згідно умові задачі швидкість розмноження пропорційна масі m (t) бактерій, тому - km (t) (9), де k>0. Рівняння (90 містить шукану функцію m (t) і її похідну, тому є диференціальним рівнянням. Переконаємось, що будь-яка функція виду (10) де С – довільна змінна, є розв'язком рівняння 9.