диференціальне рівняння

ПЛАН

1.Основи означення.

2.Диференціальні рівняння І порядку.

3.Задача Коші.

4.Теорема існування та єдності розв'язку.

5.Економічні задачі, що потребують використання диференціального рівняння.

І. Означення. Диференціальним рівнянням називають рівняння, яке містить незалежну змінну х, шукану функцію у і її похідні у, у,..., у(N).

Символічно диференціальне рівняння записується так:

Приклад: 2х+у-3у'-0; у'-4-0;

Sin у'-cosх у; у'-2х – диференціальне рівняння.

Означення. Порядком диференціального рівняння називається найбільший порядок похідних, що входять в дане рівняння.

Приклад: ху'+у-2-0 диференціальне рівняння І порядку.

у'''+7у'-3у-0 диференціальне рівняння ІІІ порядку.

Отже розв'язком диференціального рівняння (1) називається інтегральною кривою цього рівняння. Виявляється, що рівняння (1) має безліч розв'язків. Сім'я розв'язків яка залежить від n довільних параметрів називається загальний розв'язком рівняння 1. Процес знаходження розв'язків рівняння (1) називається інтегруванням цього рівняння. Розв'язок рівняння (1) може бути у явному у=у(х) або в неявному – G (х1у(х)), яка визначає розв'язок у (х) рівняння (1) називається інтегралом цього рівняння.

2. Диференціальним рівнянням першого порядку виду (2)

де у-у(х) – шукана невідома функція, у'у'(х) – її похідна по х,

F – задана функція змінних х, у, у' . Якщо розв'язати рівняння (2) відносно похідної у'´(якщо це можливо), одержуємо

Означення. Рівняння у'-f(х; у) називається рівнянням першого порядку що розв'язується відносно похідної.

Означення. Функція φ (х) є (а; и) називається розв'язком диференціального рівняння (3), якщо вона має похідну φ' (х) на (а; в) і якщо для будь-якого х є )а; в) правильна рівність: φ' (х) = f (х; φ (х) ) (тобто функція φ (х) , х є (а; в) називається розв'язком диференціального рівняння (3), якщо рівняння (3) при підстановці її замість у перетвориться в тотожність по х на інтервалі (а; в)).

Аналогічно визначається розв'язок диференціального рівняння (2) функція φ (х) розв'язок рівняння, а крива, що задана рівнянням у - φ (х) , називається інтегральною кривою.

3. Задача знаходження розв'язку рівняння (3), що задовольняє умові де х0, у0 – задані числа, називається задачею Коші. Умова (4) називаються початковою умовою.

Геометрично задача Коші полягає в тому щоб знайти інтегральну криву рівняння (3), яка проходить через задану точку М0 (х0; у0).