Лінійна алгебра. Матриці та вектори

Означення. Матрицею розміром n×m називається прямокутна таблиця чисел

Означення. Матриці A=(aij) та B=(bij) називаються рівними (однаковими), якщо вони мають однакову кількість рядків та стовпців і всі їхні елементи, розташовані на однакових місцях, є рівними (тобто aij=bij для всіх значень i та j).

Означення. Сумою двох матриць A=(aij) та B=(bij) з однаковою кількістю рядків та стовпців називається матриця C=A+B, де

cij=aij+bij (i=1,…,m; j=1,…,n). (1.1)

Означення. Добутком матриці A=(aij) на число k називається матриця B=kA вигляду B=kA=(ij).

Матриця називається квадратною, якщо кількість її рядків співпадає із кількістю стовпців (n=m).

Означення. Квадратна матриця E=(eij) називається одиничною, якщо

тобто ця матриця має вигляд

Означення. Матриця O називається нульовою, якщо всі її елементи є нулями: .

Означення. Добутком матриці на матрицю називається матриця , елементи якої обчислюються за формулою

(1.2)

Приклади.

Зазначимо, що в останньому прикладі АВ ВА .

Виконуються такі властивості додавання та множення матриць:

ЕА = АЕ = А (властивість множення на одиничну матрицю);

ОА = АО = О (властивість множення на нульову матрицю);

kO = Ok = O A+O = O+A =A;

(A) = ()A; (A) = A();

A+B = B+A (комутативна властивість додавання);

A+(B+C)=(A+B)+C (асоціативна властивість додавання);

()A = A+A;

(AB) =(A)B;

(A+B)C = AC+BC ; C(A+B) = CA+CB.

Означення. Матрицею AT, транспонованою до матриці, називається матриця.

Виконуються такі властивості: