Числові та степеневі ряди

Достатні ознаки збіжності рядів

Теорема 3. Нехай задано два ряди з додатними членами (знакододатні, знакосталі ряди) та. Нехай для всіх значень індексу i виконується aibi . Тоді із збіжності ряду випливає збіжність ряду.

Теорема 4 (ознака Д’Аламбера). Нехай для ряду з додатними членами існує границя.Тоді при l<1 ряд збігається, а при l>1 розбігається.

Приклад. Дослідити на збіжність ряд

Знаходимо границю

Ряд збігається.

Теорема 5 (ознака Лейбніца). Нехай задано знакозмінний ряд (кожні два сусідні члени ряду мають інший знак). Тоді якщо, то ряд є збіжним.

Приклад. Ряд збігається, бо.

Для обчислення цього ряду, наприклад, з точністю до 0.01 потрібно, щоб , тобто , звідки . Отже, потрібно взяти 100 членів ряду.

Абсолютна збіжність рядів

Означення. Ряд називається абсолютно збіжним, якщо збігається ряд , та умовно збіжним, якщо збігається ряд , а ряд розбігається.

Приклади.

1.Ряд є умовно збіжним, оскільки ряд розбігається.

2.Ряд є абсолютно збіжним.

2. Степеневі ряди

Означення. Степеневим рядом називається ряд вигляду

c0+c1x+c2x2+…+cnxn+…

Приклади.

1. Степеневий ряд 1+x+x2+…+xn+… Тут усі cn=1.

2. Степеневий ряд 1-2x+3x2-4x3+5x4- Тут cn (-1)n(n+1).

Очевидно, що за одних значень змінної x ряд може збігатися, а за інших – розбігатися. Тому ставлять задачу звідшукання радіуса збіжності степеневого ряду (тобто такого додатного числа R, що для всіх значень |x|
Приклад.

1.Знайти область збіжності степеневого ряду

Згідно з ознакою Д’Аламбера.