Числові та степеневі ряди

ПЛАН

1. Числові ряди.

2. Степеневі ряди.

1. Числові ряди

У деяких задачах розглядають суми, що складаються із нескінченної кількості доданків. Властивості таких нескінченних сум часто суттєво відрізняються від властивостей сум скінченної кількості доданків.

Наприклад, для суми S=1-1+1-1+1-1+… згідно з асоціативним законом маємо S=(1-1)+(1-1)+… та S=1-(1-1)-(1-1)-… . Отже, для нескінченних сум асоціативний (сполучний) закон додавання не виконується.

Означення. Нехай задано нескінчену послідовність {an}=a1,a2,…,an,

Тоді вираз a1+a2+…+an+…=

називають числовим рядом, а доданок an - загальним членом цього ряду.

Розглянемо часткові суми числового ряду:

S1=a1 ;

S2=a1+a2 ;

Sn=a1+a2+…+an ;

Означення. Ряд називається збіжним, якщо послідовність його часткових (частинних) сум має скінченну границю. Ця границя називається сумою ряду

Приклади.

1.Ряд є збіжним. Його сума дорівнює 1, оскільки згідно з формулою суми геометричної прогресії .

2.Ряд є розбіжним, оскільки можна довести, що для будь-якого числа A знайдеться такий номер N , що .

3.Нехай у деякій закритій економіці частка національного продукту, яку витрачають на споживання, становить b, а частка, яку вкладають в інвестування 1-b . Нехай початкові інвестиції дорівнюють I. Тоді згідно з теорією Кейнса споживання спричинить нові інвестиції у розмірі bI . На наступному етапі матимемо інвестиції в розмірі b2I і так далі. В перспективі національний доход становитиме Y=I+bI+b2I+…= . Коефіцієнт називають мультиплікатором.

Властивості збіжних рядів

Теорема 1 (необхідна умова збіжності рядів). Якщо ряд збігається, то його загальний член прямує до нуля ( ).

Теорема 2. Якщо ряд збігається, то для будь-якого значення m2 збігається ряд і навпаки.

Крім того, збіжні ряди можна почленно додавати та множити на число.