Використання поняття визначеного інтегралу в економіці

У тому випадку, коли окремі інвестиції роблять невеликими порціями досить часто (всі i =ti-ti-1 -малі, де t0=0; i=1,…,n), NPV можна вважати інтегральною сумою, яка в неперервному випадку ( n; всі i0; послідовність значень FV1=FV(t1), FV2=FV(t2),…, FVn=FV(T) описує деяка функція FV(t), 0tT ) перетворюється в інтеграл

Приклад. Нехай потік інвестицій задає функція FV(t)=100-10t . Ставка відсотка r=10% (r=0,1). Довжина періоду інвестування T=5 (років). Визначити дисконтовану теперішню вартість потоку (рис.7.7,б):

Для порівняння визначимо недисконтовану вартість цього потоку (рис 7.7,а):

4. Розрахунок надлишку виробника та надлишку споживача

З курсу мікроекономіки відомо, що в умовах досконалої конкуренції ринкова (рівноважна) ціна на кожен товар відповідає точці перетину кривої попиту D=D(Q) та кривої пропозиції S=S(Q) (рис. 7.8).

Кожна точка (P;Q) на кривій попиту визначає кількість товару Q, який був би проданий за ціни P. Незважаючи на те, що на ринку весь товар реально продають за ціною P, деяка i-та (i=1,…,n) частина споживачів згідна була б купити свою частку товару Qi, заплативши і дещо вищу ціну Pi>P (щоправда, за ціни Pi всього буде продано тільки Qi одиниць товару). Отже, кожна i-та частина споживачів завдяки ринковому механізмові виграє в ціні на (Pi-P)Qi . Вважаючи, що за деякої досить високої ціни P0 товар не купуватимуть взагалі, маємо такий загальний виграш (надлишок) усіх споживачів:

,

де i=1 відповідає ціні P0 , а i=n ціні P.

Очевидно, що в неперервному випадку надлишок (виграш) споживачів дорівнює площі S1 фігури P0E P (рис.7.8).

Кожна точка (Q;P) на кривій пропозиції визначає кількість товару Q, яка була б продана на ринку за ціни P. Оскільки деяка j–та (j=1,…,m) частина виробників згідна виробляти та постачати на ринок частку товару Qj і за ціни Pj

тобто площі S2 фігури PEP0 (див. рис. 7.8).

Приклад. В умовах досконалої конкуренції крива попиту має вигляд D(Q)=(Q-10)2+200, а крива пропозиції – S(Q)=Q2+100. Знайти загальний надлишок споживача та загальний надлишок виробника, якщо максимальна ціна споживача – 225 одиниць, а виробника – 125 одиниць.

Точку рівноваги знаходимо з рівняння

D(Q)= S(Q);

(Q-10)2+200=Q2+100;

Q=10;

P=200.

Цінам P0=225 та P0=125 відповідає мінімальна кількість товару в обсязі Q0=5.

Надлишок (виграш) споживача дорівнює площі фігури S1, тобто його обчисдюють за допомогою визначеного Надлишок (виграш) виробника дорівнює площі фігури S2, тобто знаходиться зи допомогою визначеного інтеграла