Методи обчислення визначеного інтеграла

Найзручніше виконувати заміну монотонно диференційовними функціями. Такі функції гарантують однозначність як прямої, так і оберненої функції.

Приклади

1. Обчислити інтеграл

о Нехай х = a sin t. переконуємось, що ця функція задовольняє всі умови теореми 1, при чому якщо x = 0, то 0 = a sin t, звідки t = 0; якщо х = а, то а = a sin t, звідки t = . Отже, = 0, . (Ця функція не є монотонною, тому існують й інші пари розв'язків, які задовольняють умови теореми 1 і можуть бути межами: тощо.)

Далі маємо

2. Обчислити інтеграл

о Нехай , звідки , . Отже, якщо х змінюється від 0 до In 5, то нова змінна t змінюється від 0 до 2. Функція обернена до функції на відрізку [0;2] є монотонною і неперервною разом з похідною на цьому відрізку.

Маємо

3. Чи можна обчислити підстановкою x = sin t інтеграл .

о Ні, тому що змінні t на проміжку ( ; ) відповідає змінна х не на відрізку [0;2], а на відрізку [-1;1] (|sinx| 1).

4. Обчислити інтеграл: sin xdx

о Нехай cos x = t, - sin x dx = dt, sin x dx = -dt. Визначимо границі інтегрування для змінної t:

Виразимо підінтегральний вираз через t i dt, та перейдемо до нових границь, отримаємо:

5. Довести, що

коли f (x) - парна функція;

коли f (x) - непарна функція.

o Маємо

У першому інтегралі виконаємо підстановку х = - t:

Далі дістаємо

Якщо функція парна, то , а якщо непарна, тоЗнайдені формули дуже корисні. Можна, наприклад, зразу, не виконуючи обчислень, сказати, що

Метод інтегрування частинами

Теорема 2. Якщо функції i мається на відрізку [а;b] мають неперервні похідні, то справедлива формула

(2)